MS : Problemas de Apolonio (continuadas - 4)

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(4) Círculo tangente a duas retas e um ponto (LLP)
iniciativa de Mariana Sacchetti:

4.1. As duas retas são paralelas

4.1.1. As duas retas são paralelas e o ponto está fora da faixa entre elas

Esta situação não tem solução

4.1.2. As duas retas são paralelas e o ponto pertence a uma delas

Esta situação tem uma única solução Basta traçar a perpendicular às retas a passar por P que interseta a outra reta no ponto D. O segmento de reta [PD] é o diâmetro do círculo pretendido

4.1.3. As duas retas são paralelas e o ponto está entre elas


Esta situação tem duas soluções Os centros dos círculos pretendidos situam-se na linha média entre as paralelas e têm raio igual a metade da distância entre elas


4.1. As duas retas são secantes

4.1.1. As duas retas são secantes e o ponto não pertence a nenhuma delas


Esta situação tem duas soluções
Sabemos que os centros dos círculos pretendidos se situam na bissetriz do ângulo. Traçamos um círculo auxiliar (O, OF) tangente às duas retas e com centro na bissetriz. Consideremos as homotetias com centro em A deste círculo auxiliar. Traçando a reta AP esta corta o círculo auxiliar nos pontos F e G. Por P tracemos paralelas a OF e a OG. Estas determinam os centros O1 e O2 das soluções pretendidas consoante consideramos P homotético de F ou P homotético de G.

4.1.2. As duas retas são secantes e o ponto pertence a uma delas


Esta situação tem 2 soluções.
Basta traçar as bissetrizes e uma reta perpendicular a AP no ponto P. Esta reta determina nas bissetrizes os centros dos círculos pretendidos.


4.1.3. As duas retas são secantes e o ponto pertence a ambas

Esta situação não tem solução

ABA : circunferências, triângulos e relações

há quem veja não mais que nada, outros enquanto outros estudam simples teoremas que levam a sério?
1- 1.13: Tomadas uma qualquer corda de uma qualquer circunferência e quaisquer dois pontos da corda, ...

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2- 1.14:
De um triângulo qualquer, tomamos um dos seus vértices e a bissectriz do ângulo respetivo...

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3- 1.15:
Tomámos uma circunferência (que pode ser alterada ....) e por cada um de 4 pontos dela se toma a respetiva tangente. Consideramos o quadrilátero circunscrito à circunferência. .....

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4- 1.16):
A figura seguinte levou-nos a que os nossos segmentos a+c = b+d ..... Só nos falta ver a figura e demonstrar que....

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5- 1.17):
Tomamos 3 pontos $\;A,\;B,\;C\;$ duas retas $\;AB\;$ e $\;AC\;$ que se intersectam em $\;A\;$ e o segmento de recta $\;BC\;$ que corta as duas $\;AB\;$ e $\;AC\;$. Olhamos para a figura a que acrescentamos as circunferências que tocam as rectas $\;AB,\;BC\;$ e $\;CA\;$.
E há alguma coisa na figura que nos fale?

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6- 1.19) pode mover os pontos da circunferência da figura e procurar as invariância

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7- 1.20):

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7- 1.21):

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... e continuaremos a construir por aqui..... escrevendo poucas palavras adequadas às figuras que me lembre ou... que alguém me lembre....