No dia 28 de Dezembro de 2004, publicámos a primeira mensagem neste bloGeometrias, a saber:
OBRIGADO A TODOS OS QUE NOS VISITARAM.
ESPERAMOS TER AJUDADO A PENSAR EM GEOMETRIA BÁSICA DINÂMICA. <
Enunciado do problema (adaptado):
Inscrever numa dada esfera de raio 1 um cilindro de área máxima: que dimensões para o cilindro?
O problema é citado numa carta (10.11.1642)) enviada de Fermat para Mersenne, aqui apresentado como exemplo da potência da notação de Leibniz. Nesta entrada vamos simplesmente ilustrar o problema reduzindo à determinação de um representante dos retângulos de área máxima de entre todos os que podem inscrever-se numa circunferência de raio 1, já que a superfície do cilindro é o varrimento feito pela altura a rodar em torno do eixo a passar pelos centros das bases e, por isso , a sua área é dada por um produto da altura $\;h\;$ pelo perimetro $\;2\pi r\;$ da circunferência base ou seja $\;pi b\;$ se chamarmos $\;b\;$ segunda dimensão da secção do cilindro cortado ao meio longitudinalmente por um plano a passar pelos dois centros das bases.
A 1ª figura( parte superior da janela) apresenta uma esfera de raio 1 e nela inscrito um cano cilíndrico que a atravessa. As bases do cilindro (bocas dos canos) são circunferências de diâmetros variáveis entre zero e dois que é diâmetro da esfera. Apresenta-se também o retângulo - corte longitudinal. E, claro, os valores correspondentes às dimensões de cada retângulo, bem como o valor correspondente à superfície de cada revolução cilindrica - $\; \pi .b .h\;$.
Na parte inferior da janela, apresenta-se a figura de um círculo máximo da esfera e nele inscrito um retângulo (dimensões variáveis) em que uma delas será diâmetro da base e outra a altura do cilindro (variáveis)
Sabemos que $\;b: 0 < b < 2\;$ bem como $\;h: 0 < h < 2\;$ e que $\;b^2+ h^2 = 4,\;$ já que cada um dos retângulos inscritos é dividido em dois triângulos retângulos de catetos $\;b,\; h\;$ e hipotenusa igual ao diâmetro do circulo máximo (ou da esfera). Por isso os pontos $\;(b,\; h)\;$ são pontos de uma circunferência de raio $\;2\;$ e os pontos $\;b, bh\;$ são pontos de uma curva de função $$\; b \mapsto b.\sqrt{4-b^2}$$
de domínio$\;]0, 2[,\;$ cuja derivada em ordem a $\;b\;$ é $$b \mapsto \sqrt{4-b^2} - \frac{b^2}{\sqrt{4-b^2}}= \frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}$$
tal que $$\frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}=0 \Leftrightarrow b=-\sqrt{2} \vee b= \sqrt{2}$$
e, por isso, de entre todos os retângulos, o retângulo que tem área máxima $\;2\;$ de dimensões $\;b=h=\sqrt{2}\;$ é um quadrado.
E o cano cilíndrico que atravesssa a esfera de um metro de raio tem área lateral $\;\pi. \sqrt{2}. \sqrt{2}\; m^2 = 2\pi\; m^2\;$ que é quanto precisa de placa de lata
ou seja, de uma placa de dimensões $\;\pi \sqrt{2}\;$ metros por $\;\sqrt{2}\;$ metros □
Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by its History. Sprnger, p. 195,196
Cylinder with maximal surface area in a sphere.
Problem: Inscribe in a given sphere of radius $\;1\;$ a cylinder with radius $\;y\;$ and height $\;2x\;$ of maximal surface area.
