Proposição 16:
Construir um iscosaedro inscritível numa dada esfera.
Passos da construção:
Seja \;AB\; o diâmetro da esfera em que pretendemos inscrever um icosaedro.
Construir um iscosaedro inscritível numa dada esfera.
Passos da construção:
Seja \;AB\; o diâmetro da esfera em que pretendemos inscrever um icosaedro.
- Começamos por dividir o diâmetro \;AB\; em duas partes \;AC\; e \;CB\; de tal modo que \;AC=4\times CB\; (VI.10). E seja o semicírculo \;ADB\; de diâmetro \;AB\; e tal que \; A\hat{C}D\; seja reto. Tomamos \;DB.\;
- Depois tomemos uma circunferência de raio \;DB\; e, sobre ela, os pontos \;E,\;F,\;G, \; H, \;K\; como vértices de um pentágono equiângulo e equilátero (IV.11). E determinemos os pontos \;L, \;M, \;N,\;O,\;P, \; médios, respetivamente, dos arcos dessa circunferência \;EF, \;FG,\; GH,\; HK,\; KE.\; Como \;EFGHK\; é um pentágno equilátero, também \;LMNOP\; é um pentágono equilátero e \;ELFMGNHOKP\; é um decágono inscrito na mesma circunferência e também equilátero.
- Tomemos agora as retas passando por \;E,\;F,\;G, \; H, \;K\; fazendo ângulos retos com o plano da circunferência \;EFGHK\; e destas tomemos os segmentos \;EQ, \;FR, \;GS, \;HT,\;KU, \; de comprimento \;DB\; igual ao raio da circunferência \;EFGHK.\;
© geometrias. 25 de julho de 2015, Criado com GeoGebra
Tomemos os segmentos \;QR,\; RS,\; ST,\; TU,\; UQ,\; QL,\; LR,\; RM,\; MS,\; SN,\; NT,\; TO,\;OU,\; UP,\; PQ,\; limitando 10 triângulos.
Como \;EQ, \;FR, \;GS, \;HT,\;KU, \; fazem ângulos retos com um mesmo plano, elas são paralelas e complanares duas a duas (XI.6) e de de igual comprimento. E segmentos de reta compreendidos entre paralelas do mesmo lado e iguais são elas próprias iguais e paralelas (I.33). Assim, \;QU\; é igual e paralela a \;EK,\; ou seja, \;EK\; tem comprimento igual ao lado do pentágono equilátero e equiângulo inscrito na circunferência \;EFGHK.\; Por isso, o pentágono \;QRSTU\; é equilátero. Por outro lado, como \;QE\; é o comprimento do lado do hexágono equilátero inscrito na circunferência \;EFGHK,\; por ser igual ao seu raio \;DB, \; e \;EP\; é lado do decágono inscrito na mesma circunferência, sendo \;Q\hat{E}P\; reto então \;QP\; é igual ao lado do pentágono equilátero inscrito na mesma circunferência, já que o quadrado do lado de um pentágono é igual à soma dos quadrados dos lados do hexágono e do decágono inscritos na mesma circunferência (XIII.10). Pelas mesmas razões \;PU\; será igual ao lado do mesmo pentágono e assim será \;QU\;, ou seja \;QPU\; é um triângulo equilátero.
Por razões análogas, podemos concluir que os triângulos construídos \;LRM, \; MSN,\; NTO,\; OUP.\; E, como \;QL\; e \;OP \;, assim como \;LP,\; também podem ser vistos como lados do pentágono, o triângulo \;QLP\; é também equilátero. E, pelas mesmas razões, são equiláteros os triângulos \;LRM,\; MSN, \; NTO,\; OUP.\; - Sobre a reta que passa pelos centros \;I,\; J\; das circunferências \;EFGHK\; e \;QRSTU\; (que fazem ângulos retos com os respetivos planos) tomem-se (para fora da faixa dos triângulos construídos) segmentos iguais ao lado \;EP\; do decágono inscrito na circunferência \;EFGHK\; com extremos \;I,\;V\; e \;J,\;W.\; Como \;IV\; é o lado do decágono e \;IP\; é o lado do hexágono (raio), sendo \;V\hat{I}P\; um ângulo reto, então \;PV\; é o lado do pentágono. Do mesmo modo, se verifica que \;LV = MV=NV=OV=PL\; são iguais entre si por serem iguais ao lado do pentágono regular inscrito em \;(I, IP)\;. E podemos concluir que são iguais entre si e equiláteros os triângulos \;VLM, \;VMN, \;VNO, \;VOP, \;VPL,\; e iguais a \;PQL, \ldots\;
- De igual modo se provaria que são iguais aos anteriores os triângulos \;WQR, \;WRS, \;WST, \;WTU, \;WUQ.\;
-
EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
