A pedido, AAF,MIS e outr@s tudo farão:
Para a figura que se segue, começámos por apresentar um hexágono regular de vértices
\;A, \;B, \;C, \;D, \;E,\;F\; sendo
\;\overline{AB}=1.\; Em seguida, tomámos o retângulo
\;P, \;Q,\; R, \;S.
Queremos só que
determine a área deste retângulo.
O problema fica resolvido se tomarmos as três diagonais \;\overline{AD}, \; \overline{BE}; e \;\overline{CF}\; do hexágono que o dividem em seis trângulos equiláteros (de lado 1)
Dos lados do retângulo, vemos que
\overline{PQ} = \overline{RS} = 2 = \overline{CF}\; e
\overline{PS} = \overline{PF}+\overline{FS} = \overline{AE} = \overline{BD} = \overline{QC}+\overline{CR} = \overline{QR}\; que são somas das alturas de dois triângulos
\;\Delta [FAF']\; e
\;\Delta [F'EF]\; congruentes,
e tais que as suas alturas iguais e iguais a
\;\overline{PF}=\overline{FS}=\overline{QC}=\overline{CR}\; que podem ser calculados imediatamente já que
\;\overline{AP}=\frac{1}{2}\; e, em conseguência,
\;\overline{AF}^2 = \overline{AP}^2 + \overline{PF}^2\; e
\;\overline{PF}^2 = 1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.\; Concluindo:
\;\overline{PF}=\;\overline{FS}\;=\;\overline{QC}=\;\overline{CR}= \frac{\sqrt{3}}{2}.\; O outro lado
\;\overline{PS}\; (=\;\overline{QR})\; do retângulo mede
\;\sqrt{3}\;
e a área do retângulo mede-se por
\;2\sqrt{3}.\;
