Imagine que o primeiro quadrante do plano
Oxy é um folha de papel gigante. Fixe uma constante
k e imagine que o canto em
(0,0) é dobrado para um ponto
P da folha de tal modo que o triângulo da dobragem tem área
k. Descreva o conjunto dos pontos que podem ocorrer como
P.
► Clique no botão a que chamámos "auxiliares"
Chamamos
Q e
R aos dois outros vértices do triângulo da dobragem que leva
O para
P. E designamos por
S o ponto de interseção de
OP com
RQ. Como os ângulos em
O e em
P são iguais e retos,
RQ é o diâmetro da circunferência que passa por
Q,
P,
R,
O.
P obtém-se como imagem de
O por uma meia volta em torno de
QR, ou dito de outro modo, para cada
Q e cada
R, há um
P imagem
O por simetria de eixo
QR.
OQ = QP,
OS = SP,
OR = RP.
© geometrias, 8 dezembro 2015, Criado com GeoGebra
A área do triângulo
PQR é dada por
QR ╳ OP / 2 ou por
QP ╳ PR / 2.
Designemos por
(x, y) as coordenadas cartesianas de
P:
x=OQ,
y=OR e por
(ρ, θ) as coordenadas polares de
P: ρ = OP =2 ∙ SP, θ =∠ QÔP.
No caso da nossa construção, atribuímos o valor
3 a
k e a condição do problema que
P deve satisfazer é, pelo que vimos,
x ∙ y = 6.
Como
OS ⊥ QR , do triângulo
Δ OSQ, retângulo em
S, tiramos
OS / OQ = cos(θ) ou
ρ / 2 = x.cos(θ).
Também o triângulo
[RSO] é retângulo em
S e
RÔS = π / 2 - θ e
ρ / 2=y.cos(π / 2 - θ) ou
ρ / 2 = y.sen(θ) .
De
ρ = 2x.cos(θ) e
ρ=2.sen(θ) podemos concluir que
ρ2 = 4xy.sen(θ). cos(θ) ou, por ser
2. sen(θ).cos(θ) = sen(2θ), e
xy = 2k (no nosso caso
6), podemos concluir que o lugar geométrico dos pontos
P(ρ , θ) tais que os triângulos
(QPR) de dobragem têm área
k constante satisfazem a seguinte equação
ρ 2 = 4k. sen(2 θ)
que é a equação de uma curva chamada
lemniscata (meia lemniscata no nosso caso por serem
x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 restrições consideradas no enunciado do problema.)
Pode ver o lugar geométrico -- meia lemniscata -- clicando no botão "lugar geométrico dos P" ao fundo direito na figura. E pode deslocar
Q para ver o ponto
P descrever a curva desenhada a vermelho. É claro que, considerado que
P(x, y): xy=2k e deixando livre
Q(x, 0) o ponto
R (0, y) é dele dependente:
y= 2k / x◾.
. Don't Cut Corners — Fold them
Suppose the first quadrant of the x-y plane is a giant sheet of paper. Fix a constant K and imagne that the corner at (0;0) is folded over onto a point P on the sheet in such a way that the triangle folded over has area k. Describe the set of ponts that can occur as P.
Konhauser, J.D.E; Velleman, Dan; Wagon, Stan. Which way did the bicycle go? . and other intriguing mathematical mysteries. Dolciani mathemetical Expositions - o 18, Mathematical Association of America: 1996.
