das relações entre três circunferências tangentes entre si e tangentes a uma recta

Numa entrada de 29.8.14, Posições de 3 circunferências tangentes entre si e tangentes a uma reta dada apresentámos a resolução do Problema:
Dada uma reta a, construir três circunferências tangentes à reta dada e tangentes duas a duas de que se conhecem os raios r₁   e   r₂ de duas delas,
Recentemente, ao folhear o livro - A.C. Morgado, E.Wagner e M. Jorge; Geometria II . FC&Z Livros. Rio de Janeiro:2002 - dei com vários problemas que podem ser considerados casos particulares do problema referido acima. Coloco aqui o Problema 140 da página 99 do livro Geometria II, assim enunciado: Dois círculos de raio 4 e 1 são tangentes exteriormente, como mostra a figura. Calcule o raio do círculo tangente a estes círculos e a tangente comum externa.
A) 1/2,      B) 1/3      C) 3/5      D) 4/9      E) NRA.

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Outros casos apresentados nesse livro:

122. São dados dois círculos tangentes exteriormente de mesmo raio R. Calcule o raio do círculo tangente aos dois primeiros e à tangente comum externas.
A) R/2,      B) R/3, ,      C) R/4,     D) R/5,      E) NRA.

129. Dois círculos de raios R e 4R são tangentes exteriormente e tangentes a uma reta nos pontos A e B. Então, AB vale:

A) 2R,      B) 7R/2, ,      C) 10R/3,     D) 4R,      E)5R.

as relações entre os raios de quatro círculos mutuamente tangentes.

Segundo Coxeter*:
em carta de novembro de 1643 à princesa Isabel da Boémia, René Descartes desenvolveu uma fórmula relacionando os raios de quatro círculos tangentes mútuos

e nós esperamos que todos façam algo parecido por quem precise de uma carta qualquer.

A seguir deixamos uma ilustração como aquela que acompanha essa referência de Coxeter.

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* H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry John Wiley & sons, inc.