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29.1.19

Só com compasso, dividir em quatro arcos iguais uma dada circunferência.

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema
Só com compasso, dividir em quatro arcos iguais uma dada circunferência.

\fbox{1}:\; Com centro num ponto \;O\; há uma infinidade de circunferências; designamos essa família por \;(O).\; Cada uma das circunferências daquela família fica bem definida se lhe associarmos o número que corresponda à distância única a que se encontram os seus pontos do seu centro - raio \;r\;. Um elemento da família \;(O)\; pode designar-se por \;(O, \;r)\; ou por \;(O, \;P)\; sendo \; OP=r\; Considere dada a circunferência a apresentada.




\fbox{2}:\; Toma-se um ponto \;A\; qualquer incidente em \;(O, \;r),\; que pode ocupar qualquer posição na circunferência dada. \;OA=r\;
\fbox{3}:\;Fica bem determinada uma circunferência de centro em \;A\; a passar por \;O\; que pode ser representada por \;(A, \;O),\; ou por \;(A, \;r).\; pois \;AO = OA = r.\; Ficam bem determinados dois pontos na intersecção \;(O, \;r). (A, \;r)\; tomamos um deles que designamos por \;B\;: OA=AB=\; =BO=r.\;
\fbox{4}:\; A circunferência \;(B, \;O)\; centrada em \;B\; que passa por \;O\; intersecta \;(O,A)\; em dois pontos: \;A\; e um outro a que chamamos \;C\; sendo \;OA=AB=BC=CO=r\;
\fbox{5}:\; Do mesmo modo, a circunferência \;(C, \;O)\; intersecta \;(O, \;r)\; em dois pontos sendo um deles \;B\; e outro a que chamamos \;D,\; sendo \;OB=BC=CD=DO=r\;
Resumindo: os triângulos \;[AOB], \;[BOC],\;[COD]\; são equiláteros e iguais e, por isso, é raso o ângulo \;AÔD = AÔB+BÔC+CÔD\; e \;A,\; O,\; D\; são colineares ou seja \;AD\; é um diâmetro de \;(O\;r)\; dividindo-a em duas semi-circunferências.
\fbox{6}:\; Usando circunferências (compassos) podemos determinar pontos equidistantes de \;A\; e \;D\; para além de \;O\;. Por exemplo, as intersecções \;(A, \;C).(D,\;B)\; são pontos equidistantes de \;A\; e \;D\; já que \;[ABC]\; e \;[BCD]\; são triângulos isósceles iguais por terem um lado comum igual aos outros dois \;AB=BC=CD \; de onde se tira que \;AC=BD\;. Tomemos um desses, por exemplo, \;E\; ponto da mediatriz do diâmetro \;[AD].\;
Sabemos que \;C\; e \;E\; são pontos da mesma circunferência \;(A, \;C) e por isso \;AC=AE.\; E sabemos também que o triângulo \;[ACD]\; está inscrito na circunferência \;(O,\; r)\; e, por isso, é um triângulo retângulo em \;C\; de hipotenusa \;AD,\; de onde decorre que \;AD^2= AC^2+CD^2,\; ou seja \;4r^2=AE^2 +r^2 \equiv AE^2=3r^2\;.
Também \;[AEO]\: é um triângulo rectângulo. De catetos \;EO, \;OA\; e hipotenusa \;EA, \; logo é \;EO^2+OA^2=EA^2,\; ou seja \;EO^2 =3r^2-r^2=2r^2.\;
\fbox{7}:\; Tomando para centros os extremos do diâmetro \; A\; ou \;D\; e raios iguais a \;OE\;, as circunferências \;(A, \;OE)\; e \;(D, \;OE]\; intersectam-se em dois pontos \; F, \;G:\; AF=DF=AG=DG=OE. \;
\;[AFD]\;é um triângulo isósceles de altura \;FO:\; FO^2 +OA^2 =AF^2=OE^2, \; ou seja \;FO^2=2r^2-r^2=r^2\; e isso faz de \;F\; um ponto de \;(O, \;r).\; De forma análoga, se prova que \;G, \; também ponto de \;(A,\;OE),\; incide em \;(O, \;r).\;
Podemos concluir que os pontos \;G, \;D,\; F,\;A\; de \;(O,\;r)\; são tais que \;GD=DF=FA=
=AG\;
Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.
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24.1.19

Interseção de duas retas, usando só o compasso

Nesta entrada realizamos uma construção dinâmica adequada ao problema de
Dados os pontos \;A, \;B, \;C,\;D\; determinar os pontos de intersecção das rectas \;AB\; e \;CD recorrendo unicamente ao compasso moderno
(ou seja com circunferências - cada uma determinada por centro dado ou pré-determinado e a passar por um ponto dado ou pré-determinado ou com um raio determinado por dois pontos pré-determinados)




\fbox{2}\;:\; Determinamos o ponto \;C':\;C'A=CA \wedge C'B=CB, \; ou seja, um ponto de \; (A,\;C).(C,\;B) =\{C,\; C'\}.\; \;AB\; é a mediatriz de \;CC'\;
De modo análogo de determina \;D':\;D'A=DA \wedge D'B=DB\;
\fbox{3}\;:\; As circunferências \;(C,\; \overline{DD'})\; e \;(D', \;\overline{CD})\; intersectam-se em dois pontos sendo um deles colinear com os pontos \;C,\;C'\;
As circunferências \;(C', \:G)\; e \;(G, \;D')\; intersectam-se em dois pontos, sendo um deles \;E\;
\fbox{4}\;:\; E as circunferências \;(C', \;C)\; e \;(G, \;\overline{CE})\;intersectam-se em dois pontos, um dos quais é \;F\; colinear com \;E\; e \;C'.\;
\fbox{5}\;:\;Finalmente: as circunferências \;(G, \;F)\; e \;(C', \;\overline{CF})\; intersectam-se em dois pontos equidistantes de \;C\; e \;C'\;, ou seja, da mediatriz de \;[CC']\; que como já vimos é a recta \;AB. \;
Um desses pontos é \;X\; colinear com \;C\; e \;D\; ou seja incidente em \;[CD]\; e, em consequência, ponto de intersecção de \;AB\; com \;CD\;

\fbox{6}\;:\; Caso lhe interesse pode agora ver as rectas e as colinearidades escolhidas menos óbvias. \;CC' \perp AB ,\; DD' \perp AB,\; CC' \parallel DD', \; CD' = C'D,\; [CD'DC']\; é um trapézio isósceles cujas diagonais \;CD\; e \;C'D'\; são iguais em comprimento e intersectam \;AB\; no ponto em que se intersectam \;DC\; com \;C'D'\; \rightarrow X.
seguindo as indicações de
Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.
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15.1.19

Intersecção de uma recta AB com uma circunferência C(D) (C em AB, recurso a compasso só)

Vamos retomar o problema da entrada anterior no caso em que \;C \in AB\;. Ou seja:
Usando só o compasso moderno, vamos realizar uma construção dinâmica adequada ao problema de
determinar os pontos de intersecção de uma reta que passa por dois pontos dados \;A, \; B\; com uma circunferência de que são dados o centro \;C,\; incidente em \;AB,\; e um dos seus pontos \;D.\;


\;\fbox{1}:\; Dados \;A, \;B da recta a que também pertence \;C\; centro de uma circunferência que passa por \;D\; dados.
\;\fbox{2}:\; Com compasso desenhamos as circunferências \;(C,\;D)\; e \;(A,\;D)\; que se intersectam em \;D, \;E. \;
Como \;\overline{AD}=\overline{AE},\;\; A\; é um ponto da mediatriz de \;[DE].\;
Como \;D\; e \;E\; também estão na mesma circunferência de centro \;C, \; este também é um ponto da mediatriz de \;[DE].\; Se os 3 pontos \;A, \;B, \;C\; são colineares, podemos concluir que AB é a mediatriz de \;[DE].\;
\;\fbox{3}:\; Com o compasso, construímos as circunferências
  1. uma de centro \;C\; e raio \; \overline{DE}\; e
  2. outra de centro \;E\; e raio \overline{CD}\;
e guardemos o ponto \;G\; da intersecção das duas, quarto vértice de \;[DCEG]\;
\;\fbox{4}:\; Simetricamente guardemos o ponto \;F\; da intersecção \;(C, \;\overline{DE}).(D,\; \overline{DC}),\; quarto vértice de \;[DCEF]\;
\;\fbox{5}:\; As circunferências \;(F, \; \overline{FE})\; e \; (G, \; \overline{GD})\; intersectam-se em dois pontos, um deles \;H,\; assinalado na figura.
\;\fbox{6}:\; Finalmente \;(F, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD}) =\{J,\; K \}\; ou \; =(G, \; \overline{CH}).(C,\; \overline{CD})\; dão-nos os pontos da intersecção \;AB . (C, \overline{CD})\;
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14.1.19

Compasso moderno: Intersecção de uma circunferência com uma recta.

Voltamos a problemas de construção para serem resolvidos com ferramentas previamente definidas.
Quatro pontos \;A,\; B, \;C, \;D\; chegam para definir uma reta \;AB\; por exemplo, e uma circunferência de centro \;C\; que passa por \;D.\;
O enunciado do problema desta entrada, é, considerando que o centro \;C\; da circunferência não incide na recta \;AB,\; o seguinte:

determinar os pontos de intersecção da reta \;AB\; com a circunferência \;(C,\; \overline{CD}),\; usando só o compasso moderno.



Clicando nos botões da barra ao fundo do rectângulo de visualização:
\;\fbox{2}\;:\; Determinamos o ponto \;E\; tal que \;\overline{AC}= \overline{AE} \wedge \overline{BC}= \overline{BE}
ou seja que é a intersecção \; (A,\; \overline{AC}).(B, \;\overline{BC}).
\; \fbox{3}\;:\; Os pontos \;F\; e \;G\; obtidos como intersecção de \;(C, \;\overline{CD})\; com \;(E, \;\overline{CD})\; são pontos equidistantes de \;C\; e de \;E :\; e são pontos da mediatriz de \;[CE]\;
\; \fbox{4}\;:\; Como já tínhamos visto em \;\fbox{2}\;:\; também \;E, \;C\; estão à mesma distância de \;A\; por estarem na circunferência de centro \;A\; e raio \;\overline{AC},\; ou seja \;A\; é um ponto da mediatriz de \;[CE].\; E, por igual razão, \;B\; também é um ponto dessa mediatriz.
Concluindo: \;F\; e \;G\; são colineares com \;A\; e \;B\; e simultaneamente são pontos da circunferência \;(C, \overline{CD})\;
Este processo só resolve o problema se \;C\; - o centro da circunferência - não estiver na reta \;AB\; ou seja, não for colinear com \;A, \;B. \;

Howard Eves. Fundamentals of Moderno Elementary Geometry.Jones and Bartlett Publishers. Boston:1992.
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