Consideremos um polígono convexo \;[A_1 A_2 \;\ldots A_{k} \ldots A_n]\; inscrito numa circunferência de centro \;O \; e raio \;R\; dados. Tomemos uma triangulação, por exemplo \; [A_1A_2A_3], \; [A_1A_3A_4],\; \dots , \; [A_1A_{k-1}A_k], \; \dots \; [A_1A_{n-1}{A_n}] de \;n-2\; triângulos e designemos por \;i_k\; o inraio do triângulo \;[A_1A_kA_{k+1}]\;. Há várias triangulações para cada polígono, mas
a soma dos raios das circunferências inscritas nos triângulos é a mesma para qualquer das triangulações possíveis. Provemos.
No artigo publicado a 20.11.14 sob o título soma invariante nas triangulações de quadrilátero convexo inscrito mostrámos que, para um quadrilátero convexo inscrito numa cirucnferência de centro \;O\; e raio \;R\; dados,
- a soma dos inraios de uma das triangulações é igual à soma dos inraios da outra
- e, para isso, se demonstrou o teorema de Carnot:
- para um triângulo acutângulo \;ABC\; inscrito numa circunferência de centro \;O\; e raio \;R\; se chamarmos \;i\; ao inraio de \;ABC\; e \; m, \; n, \;p\; às distâncias de \;O\; aos lados \;a=BC, \;b=AC, \;c=AB\; respetivamente, então R+i =m+n+p
- para um triângulo \;ABC\;, obtusângulo em \;C, \; verifica-se que R+i =m+n-p
- óbvio é que se \;ABC\; for um triângulo retângulo em \;C, \; verifica-se que R+i =m+n já que \;AB=c\; é um diâmetro de \;(O)\;
Na figura abaixo, apresenta-se um hexágono convexo \;[A_1A_2A_3A_4A_5A_6]\; inscrito numa circunferência \;(O).\; A imagem inicial apresenta um hexágono com \;O\; como ponto do seu interior e no interior de \;[A_1A_4A_5]\; triângulo da triangulação feita tomando as diagonais tiradas por \;A_1\;, no exemplo. Para além das diagonais, na figura também estão visíveis as distâncias \;OM_k =m_k\; (aos lados do polígono A_kA_{k+1} \;) e \;ON_k = n_k\; (às diagonais \;A_1A_3,\; A_1A_4, \;A_1A_5\; que são lados dos triângulos da triangulação tomada.
© geometrias, 24 de Novembro de 2014, Criado com GeoGebra
- Aplicando o Teorema de Carnot (referido acima) aos triângulos em que decompusémos o nosso polígono, temos
R+i_1 = m_1+m_2-n_1 R+i_2 = n_1+m_3-n_2 R+i_3 = n_2+n_3 + m_4 R+i_4 = m_5 +m_6 -n_3 e, por isso, 4R + (i_1 + i_2 +i_3 +i_4 )= m_1+m_2+m_3+m_4 +m_5+m_6 ou i_1 + i_2 +i_3 +i_4 =m_1+m_2+m_3+m_4 +m_5+m_6 -4R \;\;\;\;\; \square A soma dos inraios é igual à soma das distâncias do circuncentro aos lados do polígono diminuida do número de circunraios igual ao número de triângulos da triangulação (exatamente igual a \;n-2, \; sendo \;n\; o número de vértices ou número de lados do polígonos unicamente dependente do polígono e da sua circunscrita e independente da triangulação tomada.
Este raciocínio aplica-se a qualquer polígono convexo inscritos em circunferência com centro no interior do polígono e, forçosamente, em algum triângulo cujos lados são lados ou diagonais do polígono. - O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o caso de \;O\; ser um ponto exterior ao polígono inscrito em \;(O,\; R).\; Nestas condições, o ponto \;O\; é exterior a todos os triângulos de qualquer triangulação que se tome.
Verificará que, por aplicação do Teorema de Carnot, o resultado se mantém o mesmo. - O resultado pode ser demonstrado por indução finita, usando o resultado da entrada anterior. Para um triângulo, o inraio varia conforme tenha um ângulo obtuso, reto ou todos agudos. Para um quadrilátero convexo inscrito mantém-se invariante a soma dos inraios para cada uma das triângulações. Bastará provar que, para qualquer \;p\geq 4\;,
se a soma dos inraios de um polígono convexo inscrito de \;p\; lados é invariante para todas as suas triangulações então também tal se verifica para todos os polígonos convexos inscritos de \;p+1\; lados
Um polígono convexo inscrito de \;p+1\; lados, \;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p+1}\;, pode decompor-se sempre em dois polígonos inscritos na mesma circunferência, a saber: um polígono de \;p\; lados — \;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p}\; —, e um triângulo \;A_1A_pA_{p+1}\;. Pela hipótese de indução, para \;p\geq 4\;. i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p_3}+ i_{p-2} =m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p-2} + n_{(p+1)/2} -(p-3)R \;O\; pode ser interior de \;\left\{A_k\right\}_{k=1, ...,p}\; (e exterior de \;A_1A_pA_{p+1}\;) ou .... ou exterior a ambos....
Consideremos \;O\; exterior a \;A_1A_pA_{p+1}\; e \angle A_1\hat{A_p}A_{p+1} obtuso. A distância de \;O\; ao lado \;A_1A_p\;, oposto ao obtuso neste triângulo, é \;n_{(p+1)/2} \;, sendo \;m_p\; a distância de \;O\; a A_pA_{p+1} e \;m_{p+1}\; a A_{p+1}A_1.
Para este último triângulo \;A_1A_pA_{p+1}\; inscrito em \;(O, \;R)\; de que \;O\; está no exterior (\angle A_1\hat{A_p}A_{p+1} é obtuso), o seu inraio \;i_{p-1}\; é igual a \;m_p + m_{p+1} - n_{(p+1)/2} -R \;
Podemos então escrever para \;p\geq 4, i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p-3}+ i_{p-2} + \underbrace{i_{p-1}}=\\\ =m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p-2} + n_{(p+1)/2} -(p-2)R + \underbrace{m_p + m_{p+1} - n_{(p+1)/2} -R} ou i_1 + i_2+ i_3 + \dots + i_{p-3}+ i_{p-2} + i_{p-1}=m_1+ m_2+ m_3 + \dots +m_{p+1-2} + m_{p+1-1} + m_{p+1} -(p+1-2)R como queríamos provar.
