Na geometria do que se vê realmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes, tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.
No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando algumas operações e relações tais como a incidência, ligar dois pontos (para uma reta), intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter-Gebert no seu livro "Perspectives on Projective Geometry", recentemente editado pela Springer, escreve isso, mas escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria euclideana no quadro da geometria projetiva:
desenhar uma paralela que passa por um ponto. Vamos dar passos nesse sentido.
Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituamos a desenhá-lo em estudos da geometria euclideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda desenhámos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da esquerda, as retas AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja AB.CD.FH=P
∞. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q
∞. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r
∞ =P
∞Q
∞.
[A.A.M.]
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M=AC.BD, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P
∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q
∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito r
∞=P
∞Q
∞.
As restantes retas são Na figura da direita na construção, de acordo com o que podemos ver (carris do comboio), a reta do inifinito r
∞ é visível como qualquer outra reta euclideana, coerente com o que vimos quando olhamos paralelas
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P
∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q
∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito MP
∞ e MQ
∞. E os pontos serão E= AB.MQ
∞, F=BC.MP
∞, G =CD.MQ
∞, H= AD.MP
∞.
Deste modo, obtivemos uma representação perspetivamente correta do paralelogramo com todos os pontos e retas que associámos....
Da memória:
Cinderella e (ou mesmo em)
Jurgen Rishter-Gebert;
Perspectives on Projective Geometry, A guided tour trough real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin:2012
