Notas sobre involução - conjunto quadrangular

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Tomemos o conjunto dos pontos de intersecção dos lados de um quadrângulo completo por uma reta qualquer que não passe pelos seus vértices.
Na figura, a reta r interseta os lados do quadrângulo PQRS nos pontos A, B, C, D, E, F:
QR e PS são lados opostos que intersetam r em QR.r=D e PS.r=A
PR e QS são lados opostos que intersetam r em PR.r=E e QS.r=B
QP e RS são lados opostos que intersetam r em RS.r=C e PQ.r=F
A (AD)(BE)(CF) chamámos conjunto quadrangular que é equivalente a afirmar que a projetividade ABC→DEF é uma involução ou que ABCDEF→DEFABC


[A.A.M]
Os três pares de lados opostos do quadrângulo completo cortam qualquer reta que não passe pelos vértices em três pares de uma involução. E reciprocamente, quaisquer três pontos colineares e os seus correspondentes por involução formam um conjunto quadrangular
Daqui se retira que a construção de F, sendo dados A, B, C, D, E, pode ser vista como a determinação da imagem de E pela involução (AD)(BE).

Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto constante (Desargues). Para exemplo, clique em Involução.
De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si própria, i.e., tal que
∀x∈D_f, f(f(x)=x (ou f.f=id) de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano, para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como composta de reflexões.

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Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva. Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas da geometria projetiva do plano.
Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).
Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)
Prova-se que:
Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.
Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada projetividade, A é transformado em A' e A' é transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma projetiviade, tem por imagem X'. Podemos escrever AA'X→A'AX' Como já provámos, quatro pontos colineares podem ser premutados aos pares por uma projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual AA'XX'→A'AX'X que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria Projetiva).
e, em consequência:
Uma inovução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de correspondentes
Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' colineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que sabemos ser uma involução e que, de forma conveniente, representamos por (AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc notação que se mantém válida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA')(BB).

Uma colineação perspetiva é produto de duas polaridades

Na figura dinâmica abaixo, mostra uma colineação perspetiva (homologia ou elação) com centro em Oe eixo o=CP que transforma A num outro ponto A' incidente na reta c=OA. C e P são pontos arbitrários sobre o eixo o (que passa por O para o caso da colineação ser uma elação). Sejam B um ponto arbitrário de c=OA e p uma reta tirada por O que interseta AC e A'C: Q=p.b=p.AC e Q'=p.b'=p.A'C.
Verificamos que aquela colineação perspetiva é a composta das duas polaridades (ABC)(Pp) e (A'BC)(Pp)

De fato, a primeira polaridade (ABC)(Pp) transforma os quatro pontos A=b.c, P, O=c.p, Q=b.p nas quatro retas a=BC, p, o=CP, BP. E a segunda polaridade (A'BC)(Pp) transforma estas últimas retas em A'=b'c, P, O=c.p, Q'=b'.p
A composta das duas polaridades transforma o quadrângulo APOQ em A'POQ' que é a única colineação projetiva que transforma um quadrângulo noutro (considerados os lados e os vértices por uma ordem determinada), como provámos anteriormente. Por ser única é a colineação perspetiva considerada inicialmente de centro O e eixo o que transforma A em A', seja ela homologia ou elação.

Homologia como produto de polaridades

A homologia de centro O e eixo o=JL que transforma A em A' e B em B' pode ser obtida como produto de duas polaridades (OJL)(Ap) e (OJL)(A'p) em que p pode ser um reta qualquer que não passe por qualquer dos vértices do triângulo ODF autopolar comum às duas polaridades. Para provar isso, basta ver que a homologia e a composta das duas polaridades transforma o quadrângulo OJLA em OJLA'.


[A.A.M.]
Os pontos O, J e L são pontos invariantes da homologia que transforma A em A' (B em B' e C em C').
Pela polaridade (OJL)(Ap) seguida da polaridade (OJL)(A'p), OJLA→o'j´l'p→OJLA' ou seja a composta transforma OJLA em OJLA'. Lembra-se que uma polaridade (OJL)(Ap) transforma O em o'=JL e esta o' em O,... e se transforma A em p e p em A, a polaridade (OJL)(A'p) transforma JL em O (e O em JL)... como transforma p em A' (e A' em p)

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É óbvio que esta construção (já várias vezes repetida...) e este raciocínio feito para provar que uma homologia pode ser expressa como produto de duas polaridades não pode ser estendido para a elação em que O incide sobre o.
Com outra construção, provaremos que uma colineação perspetiva (homologia ou elação) é sempre um produto de duas polaridades.

Pentágono autopolar

Considere o pentágono de vértices A, B, C, D, E e a correlação que transforma B em b=DE, C em c=AE, D em d=AB e E em e=BC que também transforma e=BC em b.c=E, CD=a em c.d=a, b=DE em d.e=B e o ponto diagonal b.e=F na reta BE=f.
Esta correlação projetiva que transforma cada vértice do triângulo FBE no seu lado oposto é uma polaridade desde que transforme a em A, a saber (FBE)(Aa).
Fica assim provado que a correlação projetiva que transforma quatro vértices de um pentágono nos seus lados opostos é uma polaridade e transforma os restantes vértices nos restantes lados. Este pentágono em que cada um dos seus 5 vértice é polo do seu lado oposto é um pentágono autopolar, para a polaridade acima especificada.

Teorema de Hesse

As quatro retas a, b, c, d da figura intersetam-se em b.c=A, a.c=B, a.b=C, a.d=A₁, b.d=B₁ e c.d=C₁. A figura representa pois um quadrilátero completo (4 retas e 6 pontos: (62,43))


[A.A.M.]

Considerem-se, para uma dada polaridade, a' polar de A passando por A₁ de a, e b' polar de B passando por B₁ de b. (A, A₁) e (B, B₁) são pares de pontos conjugados. Pelo teorema de Chasles, a polar de C encontra c=AB num ponto de A₁B₁=d, obrigatoriamente C₁=c.d, que é o mesmo que dizer que C é conjugado de C₁.
Ficou assim provado que
Se dois pares de vértices opostos de um quadrilátero completo são pares de pontos conjugados para uma dada polaridade, então o terceiro par de vértices opostos é também um par de pontos conjugados pela mesma polaridade, resultado conhecido por teorema de Hesse.

Determinar polar de X em (ABC)(Pp) - Método geral.

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Pela polaridade (ABC)(Pp), a polar de um ponto X (não incidente em AP, BP ou p) é uma reta x=X₁X₂ assim determinada
A₁=a.PX,   P₁=p.AX,   X₁=AP.A₁P₁
B₂=b.PX,   P₂=p.BX,   X₂=BP.B₂P₂



[A.A.M.] Consideremos os triângulos ABC auto-polar, PAX e pax em que p é polar de P, a polar de A e x polar de X (esta que procuramos determinar) Aplicando o teorema de Chasles, os triângulo PAX(amarelo) e pax são perspetivos:
Os seus lados AX, XP e PA encontram as polares p, a, x dos seus vértices em 3 pontos colineares: P₁=AX.p, A₁=XP.a e PA.x.
X₁= P₁ A₁. PA é um dos pontos em que incidirá a polar x de X.
De modo análogo, aplicando o teorema de Chasles a PBX (verde) e pbx, determinamos um outro ponto da polar x de X, X₂=(BX.p)(XP.b).PB

Esta construção falha quando X for um ponto de AP, pois então A₁P₁=AP e X₁ fica indeterminado. Mas X₂ pode ser determinado e a polar de X é A_pX₂ em que A_p=a.p. De modo análogo, quando X estiver em BP, a sua polar é B_pX₁
Para determinar a polar de um ponto X de p, podemos aplicar uma construção dual da que temos vindo a utilizar para determinar o polo Y de uma reta y que passe por X. Esta reta y pode ser qualquer exceto p ou PX (o mais conveniente é escolher y=AX ou, caso aconteça que esta coincida com PX, escolha-se y=BX). E a polar de X é x=PY.

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Para qualquer ponto X, não incidente em AP, BP ou p a sua polar (pela polaridade (ABC)(Pp) é x=[AP.(a.PX)(p.AX)][BP.(b.PX)(p.BX)] Um exercício interessante pode ser escrever a expressão (dual da anterior) para o polo X de uma reta x que não passe por A_p, B_p ou P e desenhar a figura que ilustre esta construção dual.

Triângulos polares perspetivos por um ponto

Na entrada anterior demonstrámos que se ABC e A'B'C' (ou abc e a'b'c') são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos ou mais concretamente, demonstrámos que.
se as polares a', b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.

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É certo que se dois triângulos polares ABC e a'b'c' (distintos) são perspetivos relativamente a uma reta n=A₁B₁, serão perspetivos relativamente a um ponto N. Acrescente-se que este ponto N é o polo dessa reta n.
Retomamos a construção dinâmica do artigo anterior.


[A.A.M]

A reta n foi obtida como a reta passando pelos pontos A₁=a.a'=BC.a', B₁=b.b'=AC.b', C₁=c.c'=AB.c'.
O polo N dessa reta n é obtido como ponto de interseção das retas (b'.c')A e (a'.c')B. Como é óbvio a reta (a'.b')C também passa por N que é o centro da perspetividade que transforma ABC em (b'.c')(a'.c')(a'.b').

Teorema de Chasles

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Uma polaridade é uma correlação que transforma um ponto A numa reta a' e transforma esta em A, preservando a incidência.
Dado um triângulo qualquer de vértices A,B,C e lados a=BC, b=AC e c=AB, podemos obter um novo triângulo (polar do anterior) em que a', b' e c' sejam as polares de A, B, C respetivamente (ou em que A', B' e C' sejam os polos de a, b e c respetivamente).
É claro que, sendo A→a'→A; B→b'→B e C→c'→C; A'B'C'→ABC e a'b'c' →abc são projetividades.

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Chasles demonstrou que se ABC e a'b'c' são triângulos distintos e polares um do outro, então são perspetivos.
Dito de outro modo, se as polares a',b', c' dos vértices de um triângulo ABC não coincidem com os seus lados opostos a, b, c, então a.a', b.b', c.c' são pontos colineares.
[A.A.M.] Seja ABC um triângulo de lados BC=a, AC=b e AC=c. E sejam a', b' e c' as polares de A, B e C. Se a' distinta de a, b' distinta de b e c' distinta de c, estes pares de retas intersetam-se: A₁=a.a', B₁=b.b' e C₁=c.c' Podemos determinar as polares destes pontos, só considerando a incidência preservada. Por exemplo, como C₁=c.c'=AB.c', a polar de C₁ é (a'.b')C=r.
Para o ponto P=c.b'=AB.b' a sua polar é (a'.b')B=p. Consideremos ainda o ponto a.b'=BC.b'=R. Como já vimos, há uma projetividade que transforma qualquer pontual C₁APB em AC₁BP e, pela polaridade, AC₁BP transforma-se em a'rb'p que, por sua vez, se transforma em A₁CRB (secção do feixe a'rb'p pela reta a).
Como a projetividade C₁APB → A₁CRB tem um ponto invariante B, a projetividade C₁AP→A₁CR é uma perspetividade. O centro da perspetividade B₁ = AC.PR e, por isso, A₁C₁ incide em B₁. Fica assim provado que A₁, B₁ e C₁ são colineares.
Isto não funciona se A₁ ou B incidirem em b'.

Determinação da polar de um ponto X em (ABC)(Pp)

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Na anterior entrada provou-se a polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e em que p é uma reta que não passa por P nem por A, B ou C. Vamos determinar a polar de um ponto X qualquer não incidente em c nem em CP_c\{P}. Sejam A→a, B→b,C→c, P→ p os pares que definem a polaridade. A partir de P, determinámos P_a=a.AP, P_b=b.BP e P_c=c.CP. De modo análogo, a partir de X, determinamos X_a=a.AX, X_b=b.BX, X_c=c.CX. Sendo p a polar de P, determinámos A_p=a.p, B_p=b.p e C_p=c.p.
Para determinar a polar de X pela polaridade (ABC)(Pp), temos de determinar dois dos seus pontos A_x=a.x, B_x=b.x e C_x=c.x, pelas projetividades (BC)(P_aA_p), (AC)(P_bB_p) e (AB)(P_cC_p) aplicadas respetivamente a X_a, X_b e X_c. Determinamos x=A_xB_x.
[A.A.M.] A construção apresenta a determinação de dois deles, B_x e A_x, descrevendo a construção de B_x.
Pela projetividade (AC)(B_pP_b), determinar B_x como transformada de X_b :
a) A projetividade (AC)(B_pP_b) é tal que A→C →A e B_p→P_b→B_p que pode ser descrita como uma sequência de perspetividades, de centros Q, A e R assinalados na "figura" dinâmica. Tomamos um ponto R qualquer não incidente na reta b=AC e as retas AR, CR, B_pR. Em seguida tomamos uma reta que corta AR em T, B_pR em W e CR em Q. E finalmente a reta AQ que corta B_pR em Z. ACB_pP_b →^QZRB_pW→^AQTP_bW→^RCAP_bB_p
b) Para determinar B_x como imagem de X_b por (AC)(B_pP_b), sobre a construção desta tomamos a reta X_bT e a reta CW que se intersetam em G. A reta RG interseta b em B_x. Chamamos E a CG.RA e a X_bT.CR chamamos F.
Confirmemos a projetividade (P_bB_p)(X_bB_x).
Para isso, traçamos a reta X_bW que interseta RP_b em F e RB_x em Y e tomamos o ponto RB_x.P_bW=P₀
P_bB_pX_bB_x →^WP₀RYB_x →^P_bWFYX_b →^RB_pP_bB_xX_b
Do mesmo modo, se procedeu para determinar A_x e se procederia para verificar que (X_aA_x)(P_aA_p).
A polar de X é assim obtida x=A_xB_x.

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Pode deslocar o ponto X, bem como outros, para verificar que esta construção não falha para X a coincidir com P, a incidir em AP ou em BP, mas falha para pontos X≠P sobre CP e sobre c=AB. Apresentaremos um processo geral para determinar a polar de um ponto X na polaridade (ABC)(Pp) em que p é a polar de P não incidente em P.