Relações métricas no triângulo -lados, uma mediana e uma altura

Num triângulo ABC, a diferença dos quadrados de dois dos lados é igual ao dobro do produto do terceiro lado pela distância dos pés das mediana e altura respectivas.

Relações métricas no triângulo - os lados e uma mediana

Num triângulo ABC, a soma dos quadrados de dois lados é igual a metade do quadrado do terceiro lado adicionado do dobro do quadrado da respectiva mediana.

Relação métrica nos triângulos - generalização do Teorema de Pitágoras

Num triângulo ABC, de lados a, b, c, sendo c' a projecção ortogonal de c sobre a,

• se o ângulo B não é reto, então b²=a²+c²±2ac', conforme B é obtuso ou agudo,
• se o ângulo B é reto, então b²=a²+c² (Pitágoras), já que c'=0.

Esta relação é geral para todos os triângulos e quaisquer que sejam os lados que consideremos.

Arraste A para verificar o que se passa com os diversos tipos de triângulos.

Lados de um triângulos e suas projeções ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de triângulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC segmentos que verificam a seguinte relação métrica AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'.

A bissetriz e os lados do triângulo

A bissetriz do ângulo  do triângulo ABC divide o lado BC em dois segmentos BD e DC. Prova-se a seguinte relação métrica BD.AC=CD.AB já usada na anterior entrada:relação de Stewart aplicada à bissetriz.

Relação de Stewart no caso da bissetriz

Para um triângulo ABC, no caso de tomarmos a bissetriz AD=β do ângulo  a dividir o lado a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a relação de Stewart pode ser escrita assim:b²m+c²n=β²a+mna
e, sendo também verdade que                                  cn=bm,
bc=mn+β²

Na construção interativa que se apresenta a seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a, b, c, m, n, β e verificar que aquelas igualdades se mantêm.

Relação de Stewart

Dado um triângulo ABC e uma ceviana, por exemplo BD (do vértice B para o lado AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e AC, dos segmentos AD e CD determinados sobre AC pela ceviana e BD estão relacionados. Essa relação é conhecida como relação de Stewart que pode ser usada para determinar comprimentos de bissectrizes e medianas.

Operações sobre binómios, casos notáveis

Na construção pode fazer variar a, b, c, d.



Se ao quadrado ABCD, de área a², tirarmos o quadrado CHIJ, de área b², ficamos com o polígono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma área de BEFJ. Logo podemos substituir ABJIHDA por AEFG cuja área é (a+b).(a-b). Em conclusão, a²-b²=(a-b)(a+b).

Equação x2=c

Para resolver geometricamente a equação x²=c, em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo ABC de hipotenusa 1+c (AB). A altura AH relativa à hipotenusa AB é meio proporcional entre 1 e c. Ver a semelhança dos triângulos rectângulos ACH e BCH em que ABC fica dividido pela altura.
Na construção que se segue, pode fazer variar c.