Lúnula de ouro

Na construção que se segue, quando Q, ao deslocar-se sobre C₁, coincide com C ou C'. os triângulos rectângulos [AMP], [PMQ], [QMR] e [RMB] são de ouro.





Interessante: M é o centro de gravidade da lúnula de ouro (C₂-C₁).

De facto,



1) O centro de gravidade de um círculo é o seu centro. (O₁ e O₂ são centros de gravidade de C₁ e C₂, respectivamente)
2) De um modo geral, O centro de gravidade de uma figura formada por dois círculos estará sobre O₁O₂ considerando O₁ e O₂ com pesos proporcionais às suas áreas.
3) A razão entre as áreas de dois círculos é a razão entre os quadrados dos seus raios
4) Divide-se o segmento O₁O₂ em segmentos com essa mesma razão. Podemos fazê-lo de uma forma aditiva (se as áreas se juntassem) ou de uma forma subtractiva como acontece no caso da lúnula (a vermelha).

Nota: Na construção que fez, para calcular os quadrados dos raios, a Mariana considerou o raio maior O₁ como unidade.

Na animação que se segue, vê-se que o centro de gravidade só coincide com M quando é áurea a razão entre os raios das circunferências que definem a lúnula

Lúnula de ouro

Desenhemos as circunferências C₁, de diâmetro AB, e C₂ de diâmetro AM, em que M divide AB em média e extrema razão.
Qualquer corda; AQ, de C₁ tirada por A fica dividida, pela intersecção, P, com C₂ em média e extrema razão. AQ/AP=Φ

Triângulo rectângulo de ouro

Um triângulo rectângulo de ouro é aquele em que a razão entre a hipotenusa e um cateto é o número de ouro.
Podemos, por isso, também dizer, que um triângulo rectângulo de ouro é todo o triângulo semelhante a um triângulo rectângulo de catetos e hipotenusa 1, √Φ e Φ.
Esta última definição evidencia três propriedades:
• Φ² = Φ + 1, é uma propriedade numérica do número de ouro (Φ é solução da equação x² = x + 1)
• Num triângulo rectângulo de ouro os lados estão em progressão geométrica sendo a razão √Φ
• √Φ =√(1.Φ), num triângulo rectângulo de ouro o cateto maior é a média geométrica entre o cateto menor e a hipotenusa.
Como construir um triângulo rectângulo de ouro?
Seja um segmento de recta [AB] e dividamo-lo em média e extrema razão. Basta tomar para hipotenusa a parte maior e para cateto a parte menor. O cateto maior é, como se pode verificar a média geométrica das duas partes.






Uma vez construído um triângulo rectângulo de ouro (pelo processo mostrado anteriormente), vemos que são semelhantes e consequentemente também de ouro, os triângulos [AMC] e [ABC]

Espiral construída sobre o triângulo de ouro

Vejamos como construir uma espiral sobre o triângulo de ouro ABC.
1. Traçamos a bissectriz do ângulo BAC que intersecta BC em D; o arco CA de centro D e raio DA é o primeiro arco da espiral.
2. Traçamos a bissectriz do ângulo ABC que intersecta AD em E; o arco AB de centro E e raio EA é o arco seguinte da espiral.
3. Traçamos a bissectriz do ângulo ADB que intersecta BE em F; o arco BD de centro F e raio FB é o arco seguinte da espiral.
4. Traçamos a bissectriz do ângulo DEF que intersecta DF em G; o arco DE de centro G e raio GE é o arco seguinte da espiral.
5. Traçamos a bissectriz do ângulo EFG que intersecta EG em H; o arco EF de centro H e raio HE é o arco seguinte da espiral.
6. Traçamos a bissectriz do ângulo FGH que intersecta FH em I; o arco FG de centro I e raio IF é o arco seguinte da espiral.
7. …

Outra característica da espiral de ouro

Descartes designava-a por “espiral equiangular” pois o ângulo que raio vector de qualquer ponto com a tangente à curva nesse ponto é constante.
Note-se que a construção rigorosa exigiria a determinação do ponto “inicial” da espiral, o que evidentemente é impossível; o ponto K tomado na construção abaixo é apenas um ponto aproximado (quando os pontos tomados sobre os quarto arcos se movem, os valores dos ângulos sofrem pequenas alterações).

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Ilustração estática

Uma característica da espiral de ouro

Bernoulli designava esta curva por “espiral logarítmica” atendendo a que os raios dos arcos das sucessivas circunferèncias aumentam em progressão geométrica.
A razão desta progressão é o (incontornável!) número de ouro.

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(ilustração estática)

Espiral de ouro

Um rectângulo de ouro goza da seguinte propriedade: se o dividirmos num quadrado e num rectângulo, o novo rectângulo é também de ouro. Este processo pode efectuar-se infinitamente.
O rectângulo de ouro ABCD foi dividido no quadrado EBCF e no rectângulo AEFD que também é rectângulo de ouro. Então AEFD também é divisível num quadrado GHFD e num rectângulo AEHG, novo rectângulo de ouro.




Podemos utilizar esta construção para obter uma “espital de ouro”:
- Com centro em E e raio EB traçamos o primeiro arco (arco de circunferência) da espiral.
- Com centro em I e raio GI traçamos o segundo arco da espiral.
- Com centro em J e raio JI traçamos o terceiro arco da espiral.
E assim sucessivamente.


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Pentágono – decomposição em triângulos de ouro

Ao traçarmos as diagonais de um pentágono regular, obtemos quatro conjuntos de triângulos semelhantes, todos eles “triângulos de ouro”:
- os triângulos semelhantes ao triângulo ADC;
- os triângulos semelhantes ao triângulo AFG;
-os triângulos semelhantes ao triângulo AEB;
-os triângulos semelhantes ao triângulo AEF.

Podemos considerar razões áureas, como por exemplo.
- o quociente de DA por DF;
- o quociente de DF por DJ;
- o quociente de AF por FJ

E ainda relações que envolvem o número de ouro:

Pentágono regular: relação entre a diagonal e o lado

Temos o pentágono regular inscrito ABCDE. Tracemos as diagonais AC, AD, EB. Os arcos AB, BC, CD, DE, EA têm igual amplitude: 72º. Então os ângulos DEF, DFE, ADC, ACD têm igual amplitude: 72º. Logo os triângulos DEF e ADC (ambos triângulos de ouro) são semelhantes. É DE = DF = l₅ e EF = FA.