As alturas de um triângulo são mediatrizes de outro e ...

Teorema: As alturas de um triângulo são concorrentes.


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A demonstração de um determinado resultado é usada para outras demonstrações. Por exemplo, para demonstrar que as três alturas de um triângulo são concorrentes, basta verificar que elas são mediatrizes de outro (e já sabemos que as mediatrizes de um triângulo qualquer são concorrentes. No ensino básico, é muito importante que os jovens usem intencionalmente como parte de argumentos demonstrativos, demonstrações já feitas.

Demonstração: Por cada um dos vértices do triângulo ABC façamos passar paralela ao lado que se lhe opõe; por A passamos uma paralea a BC, etc. Ficamos assim com o triângulo DEF e as rectas que contêm as alturas de ABC são as mediatrizes dos lados de DEF. Para exemplo, vejamos que a altura relativa ao vértice C é a mediatriz de DE. Como sabemos (desde a igualdade de triângulos), os lados opostos do paralelogramo ABDC são iguais, sendo AB=CD. E do mesmo modo acontece com o paralelogramo ABCE, sendo AB=CE. CE e CD são ambos iguais a um terceiro AB e logo CD=CE, ou seja C é o ponto médio de DE. E a altura CHc é perpendicular a AB e a todas as suas paralelas.CHc é perpendicular a DE no seu ponto médio -C- é a mediatriz de DE. ...