Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke₁ de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’].
Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke₁.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke₂.



[A.A.F]

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke₁ e Ke₂ os pontos de Kenmotu e Br₁ e Br₂ os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K₁ e K₂ os inversos dos pontos de Kenmotu e Be₁ e Be₂ os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K₁, K₂, Be₁, Be₂ são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.


[A.A.F.]

Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke₁ e Ke₂.
Ke₁ e Ke₂ separam harmonicamente O e K.



[A.A.F.]

Pontos de Kenmotu

Tomemos as três cevianas do triângulo ABC que se intersectam em Vc1; as suas conjugadas isogonais intersectam-se num ponto Ke1, isogonal de Vc1 – “primeiro ponto de Kenmotu” . Procedendo de igual modo com Vc2 para determinar o seu isogonal, obtemos o “segundo ponto de Kenmotu”, Ke2. (Apenas se apresenta a construção de Ke1).


[A.A.F.]

Pontos de Vecten, Lemoine e outro

No triângulo ABC, os pontos K (de Lemoine) e N (centro do círculo de nove pontos) pertencem à recta definida pelos pontos de Vecten; os pontos Vc1 e Vc2 estão harmonicamente separados pelos pontos K e N. (Permitam-nos uma observação pessoal: não é espantosa esta tendência “gregária” dos pontos notáveis de um triângulo?! Há-de haver sempre vários na mesma recta ou na mesma circunferência, ou na mesma cónica e frequentemente a separarem-se em harmonia !).


[A.A.F.]

Segundo Ponto de Vecten

Tomemos agora os centos dos quadrados construídos interiormente sobre os lados a, b, c; sejam Q_a, Q_b, Q_c. As rectas AQ_a, BQ_b, CQ_c intersectam-se num ponto: segundo ponto de Vecten, Vc₂.
É o ponto X(486) do catálogo de Kimberling.


[A.A.F.]

Primeiro Ponto de Vecten

Dado um triângulo ABC, tomemos os centros dos quadrados construídos exteriormente sobre os lados a, b, c; sejam Pa, Pb, Pc. As rectas APa, BPb, CPc intersectam-se num ponto: primeiro ponto de Vecten, Vc₁.
É o ponto X(485) do catálogo ETC de Kimberling.


[A.A.F.]

Segundo triângulo de Brocard

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.

As simedianas do triângulo intersectam-se em K, como vimos. E, portanto, intersectam o primeiro círculo de Brocard em K e em mais três pontos: A₂, B₂, C₂. Estes três pontos definem o “segundo triângulo de Brocard”. Estes três pontos também se situam sobre o círculo de Brocard.
O círculo de Brocard é, assim, o “círculo dos dez pontos”: O, K, Br₁, Br₂, A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂.



Os dois triângulos de Brocard são homológicos, por uma homologia de eixo e. O centro da homologia é a intersecção das rectas A₁A₂, B₁B₂ e C₁C₂ que é afinal o centro de gravidade do triângulo ABC.

Círculo e primeiro triângulo de Brocard

Projectemos o ponto K de Lemoine sobre as mediatrizes dos lados do triângulo: sejam A₁, B₁, C₁ essas projecções. Os triângulos [A₁BC], [B₁CA], [C₁AB] são isósceles (o vértice definido pelos lados iguais pertence à mediatriz da base) e a medida dos ângulos (iguais) da base é u.

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B1₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.



[A.A.F.]

Segundo Ponto de Brocard

Conhecido Br₁ - primeiro ponto de Brocard, ficamos a conhecer a medida do ângulo ∠ u. Assim podemos determinar a posição do
“segundo ponto de Brocard”, Br₂.
Um processo mais expedito para obter Br₂ é o seguinte: sabe-se que as projecções ortogonais dos pontos Br₁ e Br₂ sobre os lados do triãngulo são concíclicos; projectamos ortogonalmente Br₁ sobre a, b, c; a circunferência definida pelos três pontos intersecta a, b, c em outros três pontos que são as projecções de Br₂.



[A.A.F.]

Pontos de BROCARD

Brocard encontrou dois pontos referentes ao triângulo [ABC] (sejam Br₁ e Br₂), tais que verificam a seguinte propriedade:
São iguais os ângulos ∠ Br₁AB = ∠ Br₁BC =∠ Br₁CA = ∠ Br₂AC = ∠ Br₂CB = ∠ Br<sub>2vBA = u.

O ângulo ∠u é o “ângulo de Brocard”; a recta definida pelos pontos Br1 e Br2 é a “recta de Brocard”.


[A.A.F.]


Um dos modos de obter o “primeiro ponto de Brocard”, Br1, é o seguinte:
- tracemos três circunferências:
- de corda [AB]; centro na mediatriz de AB; tangente a BC em B;
- de corda [BC]; centro na mediatriz de BC; tangente a AC em C;
- de corda [CA]; centro na mediatriz de CA; tangente a AB em A.
O “primeiro ponto de Brocard” é a intersecção das três circunferências.</sub>

Ponto isogonal do ponto do infinito de uma recta

Determinar o ponto, R, isogonal do ponto do infinito da recta r relativamente ao triângulo ABC.
As isogonais das rectas paraleltas a r tiradas pelos vértice A, B e C, têm um ponto comum, R, que é o isogonal do ponto do infinito de r.