Homologia

Em tempos propusemo-nos, neste blogue, apresentar temas de geometria hoje pouco ou nada abordados nos programas portugueses dos ensinos secundário e superior; não que tenham perdido interesse, mas não há tempo para tudo! A nossa finalidade era fornecer uma base para resolver muitos dos problemas apresentados no Geometriagon. Atendendo a que têm aparecido recentemente problemas que exigem conhecimentos de homologia, propomo-nos, portanto, dedicar alguma atenção a esta transformação geométrica. Utilizaremos basicamente duas obras que tratam este tema:

"Geometria Descriptiva Superior y Aplicada" de Fernando Izquierdo Ascensi

"Curso de Geometria Métrica" de Puig Adam.

A homologia é um caso particular de conjunto mais vasto de transformações designadas por homografias.

"Duas figuras planas são homográficas quando se correspondem ponto a ponto e recta a recta, de tal modo que a todo o ponto e recta incidentes numa das figuras correspondem um ponto e uma recta também incidentes na outra."

Um exemplo muito simples é a projecção de uma figura contida num plano sobre outro plano a partir de um ponto:



[A.A.M.]

Uma Homologia é uma homografia em que:

• os pontos homólogos estão alinhados com um ponto fixo designado por “centro de homologia”, O; cada recta que passa por O tem como imagem ela própria – recta dupla;


• as rectas homólogas cortam-se em pontos de uma recta dita “eixo de homologia”, e; cada ponto do eixo tem como imagem ele próprio – recta de pontos duplos.

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Nota:
A homografia da construção dinâmica é uma homologia. Pode deslocar qualquer dos planos (deslocando o cursor α) ou o ponto O, e pode deslocar qualquer dos vértices da figura. Verá que quando o desloca para a charneira e ele coincide com a sua projecção. Sobre essa charneira estão todos os pontos da homologia de centro O e eixo e.

Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O₁ e O₂ e de raios r₁=|AH|/2 e r₂=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O₁ é necessário que tenha um raio r tal que |O₁P|=|O₁T|+|TP|=r₁+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O₁P|=r₁+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O₁P|=R+r₁, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O₁ e eixo maior R+r₁ (ou |AO₂|=2R-r₂=R+r₁, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r₁+2r₂=2R, de onde se tira que R=r₁+ r₂, R+r₁=2r₁+ r₂=|AO₂|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.

Arbelos: a cadeia de Papus

Durante algum tempo, a Mariana ficou presa nas animações da cadeia de Papus e da beleza que elas produzem. A última animação que nos enviou foi a que juntamos nesta entrada.
A Mariana obteve um novo efeito ao juntar para cada umas das circunferências de anteriores animações (tangentes externamente a uma das pequenas e internamente à grande circunferência do arbelos) a outra circunferência concêntrica tangente externamente à mais pequena.
O lugar geométrico dos centros destas circunferências é uma elipse. E António Aurélio não se cansa de referir o interesse de mostrar a prova deste resultado neste lugar geométrico.
Quer experimentar antes de o fazermos?

Pitágoras - sem recuperação, porque não depende de nós

Há não muito tempo apresentámos diversas decomposições e recomposições (com triângulos e rectângulos).
No âmbito da Escola de Educação Complementar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro, apareceram algumas propostas de trabalho em que se propunha fazer uma moldura considerando uma determinada decomposição de um quadrado. Como resultado, obtinha-se um novo quadrado. Sempre nos pareceu que ali estaria uma nova demonstração para o Teorema de Pitágoras. Assim confirmámos em pequenas incursões exploratórias. Despertou-nos especial curiosidade, o trabalho de Herman Vogel, da Universidade Técnica de Munique, que apresenta vários exemplos de construções interactivas, cada uma delas recorrendo aos diversos programas (software) de geometria dinâmica europeus. Recomendamos esse trabalho a quem quiser comparar as potencialidades dos diversos programas - Cinderella, CaR (ZuL), Geogebra, Cabri, Euklid-DynaGeo e GeoNExT




Mesmo contando com ajudas (que agradecemos), para nós, não foi nada fácil a realização desta animação. Aqui fica. Esperamos que gostem e seja útil.

Cadeia de Pappus

Continuemos então com as tangências e a tentar dar respostas construtivas às dúvidas que nos têm sido postas. Agradecemos ao André Filipe Oliveira as dúvidas e interrogações que nos obrigam a verificar que construções sabemos fazer e quais são possíveis com a régua e compasso do ZuL ou do CaR.metal. O que formos descobrindo, aqui publicamos. Se subsistirem dúvidas, não hesitem em contactar-nos.

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Ora aqui ficam definições e resultados da Cadeia de Pappus acompanhados das respectivas construções interactivas:

Dadas duas circunferências de centros F1 e F2, chama-se “cadeia de Pappus” ao conjunto das circunferências tangentes simultaneamente às circunferências dadas. Demonstra-se que o conjunto dos centros das circunferências de Pappus define uma elipse de focos F1 e F2 e eixo maior [AB].


Consideremos um raio vector que intersecta o círculo maior em P e o círculo menor em Q. As paralelas aos eixos por P e Q determinam um ponto X da elipse, centro de uma circunferência de Pappus. Pode deslocar o ponto P.




Num arbelo, a cadeia de Pappus inicia-se com o círculo tangente às três semicircunferências.

Bom 2008

Aurélio Fernandes acha que o melhor mesmo é publicar uma ideia da construção que fomos fazendo sobre círculos gémeos de Arquimedes (sobre arbelos), enquanto tentamos compreender um problema-pedido que nos vão explicitando devagar. Veremos.