Sexto despertar dos geómetras.

Vamos dar por finda a série de despertares sobre o inesgotável manancial de propriedades dessa figura geométrica tão enganosamente simples: TRIÂNGULO.
E vamos terminar com um conjunto de propriedades que, ao contrario das anteriores, não foram compiladas de nenhuma das obras a que recorremos ( queremos destacar em especial a "Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi" e "Geometria Métrica" de Puig Adam). Resultaram do esforço investigativo da Mariana; daí os designarmos por "Teoremas da Mariana" (se algum geómetra de outros tempos já tinha descoberto estas propriedades, as nossas desculpas por o estarmos a ignorar; por vezes, em Ciência, estas coisas acontecem!).
Dispensamo-nos de enunciar os Teoremas da Mariana, pois as imagens, de sua autoria, falam por si. Pode ter tudo em tamanho decente, clicando sobre a ilustração(este belo rectângulo pintado que se segue):

A reconstrução em Geogebra de António Aurélio Eis o desenho de Mariana:

outras notas de então que não revemos agora:
São exemplos de problemas em que se aplicam estas propriedades os 472, 473, 474, 475, 476, 500, 501, etc do GEOMETRIAGON

EM VOLTA DOS TRiÂNGULOS

---

RESULTADOS:
A Mariana disse que as demonstrações não couberam na nota onde nos deu conta do que foi vendo.
Boas figuras explicam tudo - diz o Aurélio.
Sempre pode mover um ou outro ponto se houver algum interesse nisso.

---

---

Construído com prazer e com ReC de R. Grothmann.

Quinto despertar dos geómetras.

Triângulo órtico; ortocentro

Dado o triângulo [ABC], sejam H_a, H_b e H_c os pés das alturas. O triângulo [H_aH_bH_c] é o "triângulo órtico" do triângulo dado.


[A.A.F.] Verifica-se que:

1. os lados de um triângulo (acutângulo) são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico;



2. as alturas de um triângulo são as bissectrizes do triângulo órtico;



3. o triângulo órtico é o o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito em [ABC];



4. a área de um triângulo é dada por p'.R, produto do semi-perímetro do triângulo órtico pelo raio do círculo circunscrito;



5. os pontos A, B, C, H gozam da propriedade seguinte: qualquer um deles é ortocentro do triângulo formado pelos outros três.



6. os vértices de um triângulo são os exincentros do seu triângulo órtico;



7. o ortocentro de um triângulo é incentro do seu triângulo órtico;

Quarto despertar dos geómetras.

Mais propriedades dos círculos exinscritos

Dado um triângulo [ABC], os pontos I_a, I_b e I_c, centros dos círculos exinscritos, definem uma circunferência. Seja O_e o seu centro; o ponto O_e e o incentro I definem um segmento |O_eI| cujo ponto médio é o centro O do círculo circunscrito. O raio do círculo dos exincentros tem comprimento duplo do raio do círculo circunscrito: R_e = 2R.

Se, a partir de I_a e de I, tirarmos perpendiculares para o lado [BC], os pés das perpendiculares definem um segmento cujo ponto médio é M_a, ponto médio do lado. O mesmo se passa com I, I_b e I, I_c.

O círculo circunscrito contem os pontos médios dos lados do triângulo de vértices I_a, I_b, I_c. E contém também os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro a I.

as circunferências BCI_a, CAI_b, ABI_c passam pelo incentro I;

[A.A.F.]

notícias da conspiração

De vez em quando, quando tudo me parece parado que é quando me ocupo com o reboco de alguma lamentação doentia sobre o que não é nem matemática nem ensino da glória, ouço vozes que me avisam sobre o "estalar da porcelana da noitinha da geometria". O António Aurélio e a Mariana continuaram a estudar os problemas e a geometria do triângulo e há quem diga que há propriedades que escaparam a toda a gente, mas foram apanhadas nas redes de pesca da Mariana que não se cansa de desenhar na praia. Já ando a pedir as necessárias autorizações, apoios e tempo para tornar públicas as elocubrações marianas, em primeira mão, neste lugar geométrico. Não resisto a falar disto para aguçar o apetite de algum eventual leitor tentado a ir de férias sem querer saber.

No dia 17 de Julho, Arsélio & Aurélio encontrar-se-ão em Famalicão, com Cinderella, com a geometria e com professores de uma ecola básica. Não há encontros felizes?

ass. Arsélio Martins