TEOREMA:Por um ponto qualquer \;D,\; da base \;BC\; de um triângulo \;ABC\; isósceles, tiram-se paralelas aos lados iguais \;AB, \;AC\, do triângulo que intersetam os lados \;AC, \;AB \; em \;E\; e em \;F\; respetivamente. Para cada \;D\; de \;]BC[\; há um paralelogramo \;[DEAF].\; Prova-se que os paralelogramos \;[DEAF]:\;D \in ]BC[\; são isoperimétricos.
PROBLEMA: Provar que a soma dos comprimentos dos lados de todos os paralelogramos é invariante.
F.G.-M., Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, - Problème 19. Par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle on mène des parallèles aux côtés égaux; prouver qye le parallélogramme ainsi formé a un périmètre constant.
Considera-se que na resolução deste problema de demonstração se recorre ao método geral de análise já que se aceita que a afirmação é verdadeira, o que é o mesmo que supor ter o problema resolvido. Os primeiros três passos da construção abaixo dão toos os elementos para a demonstração do teorema.
\;\fbox{n=1}:\; Apresenta-se um triângulo isósceles \;ABC\; de base \;BC\; e sobre esta um ponto \;D\; que pode tomar a posição de qualquer dos seus pontos. E mostram-se também os pontos \;E, \;F\; vértices do paralelogramo \;DEAF\; conforme dados da hipótese do teorema.
\;\fbox{n=2}:\; Claro que lados opostos do paralelogramo têm comprimento igual (segmentos paralelos entre paralelas são iguais) \;AE=FD, \;AF=DE\; e, por isso, o perímetro de \;DEAF\; é igual ao dobro da soma de dois dos seus lados consecutivos: \;DE+EA+AF+FD= 2 (DE+FD). \; Se \;DE+FD\; não depender da posição de \;D\; em \;BC\;, o perímetro de \;DEAF\; não varia quando a posição de \;D\; varia. Desloque \;D\; para confirmar isso (conjetura) - nos textos se vê como variam os comprimentos \;DE\; e \;FD\; tendo soma constante.
\;\fbox{n=3}:\; Claro que ângulos de lados paralelos são iguais em amplitude, por exemplo, \;\angle B\hat{A}C= \angle D\hat{E}C =\angle B\hat{E}D, \; \angle B\hat{C}A= \angle D\hat{C}E = \angle B\hat{D}F\; e, como é óbvio, por ser \;\angle A\hat{B}C = \angle B\hat{C}A\; do triângulo isósceles \;ABC,\; os triângulos \;BDF\; e \;DCE,\; de onde se retira que \;DE=EC\; ou seja \;\overline{FD}+\overline{ED} = \overline{FD}+\overline{EC}=\overline{AE}+\overline{ED}\;
Prolongando \;FD\; e tirando por C\; a paralela a \;AB\; obtemos um paralelogramo \;FGCA\; que para qualquer posição de \;D\; (incluindo \;B\; e \;C\;) \;FD+DE =FG= AC\; que não depende da posição de \;D\;
22 janeiro 2018, Criado com GeoGebra
Aproveitamos a oportunidade para lembrar um OUTRO PROBLEMA (clássico), usando a mesma construção:
Dos paralelogramos \;DEAF\; isoperimétricos, qual deles tem área máxima?
De outro modo, qual a posição de \;D\; para a qual \;DEAF\; tem área máxima?
Ou ainda, de entre os números com uma certa soma constante, quais deles têm um produto máximo?
\;\fbox{n=4}:\; Mostra-se a área de \;DEAF\; variável com \;D\; como se pode ver.
\;\fbox{n=5}:\; Quando a posição de \;D\; varia em \;BC\;, a área de \;DEAF\; como função de \;BD\; é representada por uma curva que se mostra neste passo… □
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