24.7.12

Razões de diferenças. Razão cruzada.

Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de pontos dados.
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=xA e a B a abcissa b=xB, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for xB-xA=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=xB -xA= b-a=-(a-b)=-(xA-xB)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.

[A.A.M.]

17.7.12

Subtrair

Temos vindo a apresentar construções em que se determinam pontos cujas abcissas são resultados de operações sobre as abcissas de outros pontos dados. Faltava a determinação do ponto de abcissa x-y sobre a reta de que são dados os pontos de abcissas 0, x e y. Aqui ficam as construções.
Dados os pontos 0, x, y determinamos o ponto de abcissa x-y seguindo um procedimento apoiado na construção da soma, já que y+x-y=x.
Por um ponto exerior P à reta xy tiramos uma paralela a xy e, sobre esta tomamos um segundo ponto R. Pelo ponto Qy=0P.yR tiramos uma paralela a xy e determinamos sobre ela o ponto Qx de xR. O ponto de abcissa x-y será PQx.xy
Pode deslocar os pontos x ou y verificando o que acontece quando x=y, x=0, y=0, x à esquerda de y, y=x-y, etc

[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z.

[A.A.M.]

16.7.12

Dividir x por y

Na anterior entrada tratámos da determinação dos pontos de abcissas 1/n (n natural) conhecidos que fossem os pontos 0 e 1.
Nesta entrada, nas construções apresentadas (euclideana e projetiva correspondente) apresenta-se o processo de determinação do ponto de abcissa x/y conhecidos os pontos 0, 1, x, y.
Dados 0,1, x e y colineares, começa-se por tomar um ponto P qualquer fora da reta 01. Por P tira-se uma reta paralela a 01. E sobre ela, toma-se o ponto R qualquer. D=0P.1R. Para determinar o ponto x/y, toma-se yR e M=yM.0R. Em seguida, toma-se xM e S=xM.PR. Finalmente SD e o ponto x/y=SD.xy
Do feixe centrado em D cortado pelas retas paralelas 01 e PR, tira-se que 0(x/y)/PS=01/PR e, do feixe centrado em M cortado pelas mesmas paralelas tira-se que 0y/PR=0x/PS. Da primeira e segunda igualdades conclui-se que PS/PR=0(x/y)=0x/0y
Pode deslocar os pontos x e y e ver o que acontece quando x=0, x=y, x=1, y=0, y=x/y, etc

[A.A.M.]

Projetivamente, as retas paralelas intersetam-se num ponto Z.

[A.A.M.]

14.7.12

Dividir x por n (n natural)


edividir.cdy Na entrada anterior, apresentou~se o processo para determinar o ponto de abcissa xy, conhecidos os pontos de abcissa 0, x e y. Esse processo é aliás em tudo análogo ao processo que permitia determinar pontos de abcissa inteira, conhecidos os pontos de abcissas 0 e 1.
O processo para determinar um ponto de abcissa 1/n (ou x/n) com n natural, conhecidos os pontos de abcissas 0, 1 parte sempre da determinação dos pontos de abcissa 2, 3, 4, ..., n (ou 2x, 3x, ..., nx)
. No caso da construção que segue como exemplo, faz-se a divisão por 3, determinando os pontos de abcissas 1/3 e 2/3. Essa construção começa com a determinação dos pontos 2 e 3, dados os pontos 0 e 1, utilizando 0, 1, P, R, 1'=0P.1R e as paralelas a 01, tiradas por P (PR) e por 1'.
Agora tomam-se os pontos 1', 2''=2R.0P, 3''=3R.0P, Q=PR.13''. E, ficam assim determinados os pontos de abcissas 1/3 e 2/3: 1/3=Q1'.01, 2/3=Q2''.01.

[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z.
[A.A.M.]

10.7.12

Adição


Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Qx = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Qy, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQy. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).

Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z.



[A.A.M.]

9.7.12

Pontual de abcissas inteiras.


euclinteiros.cdy e protinteiros.cdy Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um quadrilátero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos sem passar por qualquer dos seus vértices.Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos ponto 1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.
A construção que se segue, ilustra bem um processo de von Staudt para obter pontos correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.
Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome-se um ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q1 com a reta paralela a 01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ1 com 01.
O processo repete-se.

Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z, marcado na figura que se segue.

5.7.12

Representações de (AA)(BB)(CH) e notas a propósito


conjugadoinfinito.cdy Na construção que apresentamos abaixo, temos duas representações diferentes de dois quadriláteros completos de vértices PQRS cortados por uma reta h=AB em que A=QR.PS e B=PR.QS
C= RS.h e PQ paralela a AB ou PQ.h=H.

Na figura da esquerda temos um feixe de retas concorrentes em R cortadas por duas paralelas e em que S é o ponto de encontro das diagonais do trapézio AQPB e, por isso, RS passa pelos pontos médios de PQ e AB.
Tem-se assim um processo para determinar o ponto médio de AB. É tambem método para determinar segmentos geometricamente iguais.


Na figura da direita, temos uma representação projetivamente adequada da mesma situação em que o ponto do infinito H está à vista sobre h e as retas AB e PQ nele se intersetam. E isso não significa mais do que estabelecer uma relação harmónica H(AB,CH)
Podemos dizer que a construção da direita é a mesma que está à esquerda e isso quer dizer que para um quadrilátero completo nas condições da figura se AB//PQ então C é o ponto médio de AB ou C é o conjugado harmónico do ponto do infinito H.
[Por analogia ao escrito anteriormente para segmentos geometricamente iguais, podemos dizer que este é também um método para determinar sobre uma reta segmentos projetivamente iguais].
Para A, B e H=PQ.AB, C é único. Se C é o ponto médio de AB, PQ e AB intersetam-se em ponto do infinito.
Ou ainda se, na reta h, a A atribuirmos, por exemplo, uma abcissa 0 e a C a abcissa 1,então B terá uma abcissa 2,...

2.7.12

Representações projetivamente corretas (paralelismo)


Na geometria do que se vê realmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes, tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.
No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando algumas operações e relações tais como a incidência, ligar dois pontos (para uma reta), intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter-Gebert no seu livro "Perspectives on Projective Geometry", recentemente editado pela Springer, escreve isso, mas escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria euclideana no quadro da geometria projetiva: desenhar uma paralela que passa por um ponto. Vamos dar passos nesse sentido.
Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituamos a desenhá-lo em estudos da geometria euclideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda desenhámos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da esquerda, as retas AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja AB.CD.FH=P. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r =PQ.


[A.A.M.]
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M=AC.BD, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito r=PQ. As restantes retas são Na figura da direita na construção, de acordo com o que podemos ver (carris do comboio), a reta do inifinito r é visível como qualquer outra reta euclideana, coerente com o que vimos quando olhamos paralelas
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito MP e MQ. E os pontos serão E= AB.MQ, F=BC.MP, G =CD.MQ, H= AD.MP.
Deste modo, obtivemos uma representação perspetivamente correta do paralelogramo com todos os pontos e retas que associámos....


Da memória:


Cinderella e (ou mesmo em)
Jurgen Rishter-Gebert;Perspectives on Projective Geometry, A guided tour trough real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin:2012