19.8.11

Grupos de simetrias do plano: do particular para o geral



1. Rosáceas

Os chamados grupos de simetria de Leonardo (rosáceas) constituem-se como grupo de transformações do plano - finito, discreto, de rotações, reflexões e suas compostas - em que os eixos das reflexões passam pelo centro das rotações e, por isso, é um grupo de transformações em que há um ponto que é transformado em si mesmo. As amplitudes das rotações são sempre (em graus) quocientes das divisões (de resto $0$) de $360^o$ por um divisor inteiro.

2.Frisos

As ilustrações dos sete frisos, apresentadas em entradas anteriores, são o catálogo completo dos grupos de transformações (infinitos, discretos) do plano em que "se há uma simetria de translação segundo um vetor $\vec{u}$, todas as translações associadas a vetores $n\times\vec{u}, n\in\mathbb{Z}$ (e só essas de entre todas as translações do plano) são simetrias". (Claro que pode haver (ou não) outras simetrias para além das translações). Estes grupos de simetrias transformam pontos do plano em pontos do plano e de tal modo que as imagens dos pontos da figura original são outros pontos da figura, que se mantém, sem que qualquer ponto seja transformado em si mesmo. As rectas com a direcção dos vetores associados às translações são imagens de si próprias.


Esta construção ilustra (de novo!) os resultados acima referidos. Claro que se refere ao friso em que só há simetrias de translação associadas aos vetores $n\times\vec{u}, n\in \mathbb{Z}$, mas os resultados que, sobre ele, pode verificar, são os mesmos para qualquer friso (no que respeita às simetrias de translação presentes em todos os frisos). Clicando sobre o botão simetrias de translação, verá aparecer um ponto triangular que pode movimentar livremente sobre a direção de $\vec{u}$, podendo ver que a translação $t$ associada ao $\vec{u}$ é uma simetria, como o é $t^{-1}$ - translação associada ao vetor $-\vec{u}$ , $t\circ t=t^2$ - associada ao vetor $2\times \vec{u}$, etc

3. Completando o mural das simetrias do plano: Papel de parede

Há 17 modos adicionais de grupos de simetrias (infinitos e discretos) do plano. Tomando para ponto de partida os frisos em que há simetrias de translação associadas a vetores que dependem de um único vetor $\vec{u}$ ($n.\vec{u}$, com $n$ inteiro: discreto, numa direção), considerem-se agora dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, independentes (não paralelos ou seguindo direções diferentes), e as combinações lineares $m\times \vec{u}+n \times\vec{v}$ com $m,n \in \mathbb{Z}$ e as translações a elas associadas como simetrias do plano. É claro que haverá outras simetrias. É óbvio que os frisos são um caso particular deste (basta pensar em $m=0 \wedge n\neq 0$ para termos o friso associado a $\vec{v}$ ou $n=0 \wedge m\neq 0$ e termos o friso associado a $\vec{u}$). Veremos que, de certo modo, entre eles se encontrarão as rosáceas, se não contássemos com as (enumeráveis, inumeráveis, numeráveis ;-) infinitas translações.

De um modo geral, chamamos padrões planos a todos estes grupos de simetrias do plano.

Vamos começar com a construção de um "wallpaper: papel de parede", a partir do friso ilustrado acima em que as únicas simetrias presentes serão mesmo translações (desprezando todas as simetrias triviais).

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