5.9.10

Trapézio circunscrito

O primeiro problema é da construção básica (9º ano) de um trapézio ABCD, circunscrito a uma circunferência, conhecidos que são os pontos de tangência de cada um dos seus lados E, F, G, H.
O segundo problema será demonstrar que tal trapézio ABCD é forçosamente isósceles.



28.8.10

Paralelogramo circunscrito

Com os resultados que temos vindo a utilizar, demonstre que um paralelogramo circunscrito numa circunferência é obrigatoriamente um losango.





Deixamos-lhe a construção dinâmica com ferramentas para que possa fazer as construções auxiliares que lhe permitam criar e acompanhar a demonstração.

24.8.10

Determinar um triângulo conhecidos Â, b e inraio

Determinar B, C, a, b e c de um triângulo sabendo que o raio da sua circunferência inscrita mede 2, BÂC=100º e AC=b=6. Outros dados: o vértice A e a recta AB.



22.8.10

Quanto vale DE?

Na sequência dos problemas levantados com as posições dos pontos de tangência das circunferências inscritas e ex-inscritas de um triângulo ABC em termos de a, b e c, sobrou-nos um problema que é o de determinar a distância entre os pontos D e E de tangência em BC das circunferências tangentes a três rectas AB, AC e BC dentro do ângulo  e, também manda o livro, que se prove que o ponto médio do segmento DE é o ponto médio do segmento BC.



Chamamos a a BC , b a AC e c a AB (confundindo na escrita segmentos com comprimentos). A a+b+c chamamos perímetro do triângulo e semiperímetro, designado muito frequentemente por p, a (a+b+c)/2.
Já sabemos de entradas anteriores que AS=p, TS=a, AT=p-a.
Como AS=AT+TB+BS, sendo TB=BD eBS=BE, p=p-a+BD+BE: BD+BE=a ou 2BD+DE=a.
Do mesmo modo, por ser AR=AU+UC+CR=p-a+CD+CE: CD+CE=a ou 2CE+DE=a.
Assim se prova que BD=CE e que o ponto médio de DE é o ponto médio de BC.
Claro que CU=CD=p-c ou BT=BD=p-b, e podemos assim escrever que DE=a+2b-2p=a+2c-2p ou DE=a+2b-a-b-c=b-c.
Não é interessante? Será util para futuras construções?

16.8.10

Triângulo ABC, dados Â,|BC| e perímetro

Determinar os vértices B e C e lados b e c do triângulo ABC, do qual se conhecem A e a recta AB e que é tal que BÂC=35º, |BC|=a=4 e a+b+c = 16.



13.8.10

Triângulo dados o perímetro e dois ângulos

A partir do ponto A e da recta AB, determine os restantes elementos do triângulo ABC de perímetro 14, cujos ângulos A e C medem respectivamente 40 e 30 graus.





Chamamos a atenção para o uso de ferramentas que habitualmente não usávamos: circunferência de centro e raio dados e ângulo de amplitude fixa a partir de dois pontos. Pensamos ter algum interesse falar do seu uso para o ensino básico.

10.8.10

Pontos de tangência do incírculo dividem os lados do triângulo...

Chamamos a ao comprimento do lado BC oposto a A, b=AC e c=AB. Na nossa construção, designámos por J, K e L pontos de tangência do incírculo.



O perímetro do triângulo é a+b+c = BJ+JC+CK+KA+AL+LB. Como BJ=BL, JC=CK, KA=AL, 2(AK+BL+CJ)=a+b+c, ou seja, 2AK+2a =a+b+c, AK+a é igual a metade do perímetro do triângulo. AK é o semiperímetro subtraído de a. Do mesmo modo, para AL. E obviamente que CK=CJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de c ou BL=BJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de b.

Alguns problemas podem ser resolvidos facilmente se tivermos presente este resultado.

9.8.10

Perímetro do triângulo e pontos de tangência de uma ex-inscrita

Dizemos que uma recta é tangente a uma circunferência quando só têm um ponto comum. Chamamos ponto de tangência ao único ponto comum. Por exemplo a recta AC é tangente ao círculo de centro em Ia, sendo E o ponto de tangência. Prova-se que a tangente em E é perpendicular ao raio EIa (?). A distância de um ponto a uma recta é medida na perpendicular à recta tirada pelo ponto. A distância do centro de uma circunferência a qualquer uma das suas tangentes é, por isso, igual ao seu raio. Se tirarmos por um ponto A tangentes a uma circunferência, no caso da nossa construção, de centro em Ia, é certo que este ponto está a igual distância de ambas as tangentes, AB e AC, sendo um ponto da bissectriz do ângulo CÂB. E, assim, por ser IaÂB = IaÂC (?) e IaÊA= IaDA = 1 recto, os triângulos IaAD e IaAE são iguais já que IaA é lado comum. Podemos concluir que a AD=AE.
Se tirarmos por A tangentes a uma circunferência, a distância de A aos pontos de tangência é a mesma.




Este resultado é muito importante e é aplicado na resolução de muitos problemas. Fornece-nos as condições a que obedecem polígonos circunscritíveis a uma circunferência (ou que admitem uma circunferência inscrita) tangente a cada um dos seus lados.
Sabemos que um triángulo admite sempre uma circunferência inscrita nele que é o mesmo que dizer que há um ponto à mesma distância do seus três lados; mais geralmente, equidistante de três rectas concorrentes. A nossa construção sugere que há vários pontos à mesma distância de 3 rectas (só um - o incerto - equidistante dos 3 lados de um triângulo).Quantos? A estes pontos equidistantes das rectas que contêm os lados de um triângulos chamamos incentro - quando é intersecção das três bissectrizes internas, ou exincentros quando são pontos de intersecção de duas bissectrizes externas e uma bissectriz interna ficando fora do triângulo. Ia é um dos exincentros do triângulo ABC, este sobre a bissectriz do ângulo Â.

E o exercício que propomos hoje é demonstrar que AD é igual a metade do perímetro do triângulo ABC. Pode ser?

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção