A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

4.7.10

Triângulos com circuncentro na circunferência inscrita?

Uma das perguntas de Paul Yu, em "Introduction to the Geometryof the Triangle" (Florida Atlantic University: 2001) que fizémos a nós mesmos (AAF, AM & MIS), numa destas quintas geométricas era qualquer coisa como: Quais são os triângulos que têm o circuncentro na circunferência inscrita?. Na altura, respondemos com os cálculos mais óbvios, uma construção (em geogebra) e os espantos do costume. E deixámos para mais tarde essa e mais duas outras respostas (as construções já foram feitas ou meio desfeitas-AF (ou meias-desfeitas?:-))
Hoje, passados uns dias, recebemos de manhã o estudo de MS (construções em CaRmetal*.zir) que não resistimos a publicar como prenda de domingo. Muito cuidadosamente, ela escreve muito mais que uma resposta à pergunta. Assim:
  1. Porisma - difícil de definir- mas que contem de certa forma o conceito de corolário
  2. Porisma - de uma maneira simples mas perceptível - é uma situação que ou não tem soluções ou tem uma infinidade de soluções
  3. Porisma de Poncelet - Sejam dois círculos C1 e C2, C2 interior a C1. Por um ponto P de C1 tire-se uma tangente a C2 que intersecta C1 noutro ponto a partir do qual se tira nova tangente a C1 e assim sucessivamente. Forma-se assim uma linha poligonal.

    Se essa linha poligonal fechar, fechará (com a mesma dimensão) qualquer que seja o ponto P de partida de C1. Se não fechar, não fechará para nenhum ponto de C1
  4. Polígonos que se formam nestas condições chamam -se polígonos bicentricos(têm incentro e circuncentro)
  5. Todo o triângulo é bicentrico
  6. Voltemos ao porisma de Poncelet para o caso em que a linha poligonal fecha e tem dimensão 3 - triângulos. Existe assim uma infinidade de triângulos com o mesmo circuncentro e incentro e que se chamam triângulos poristicos - Entrada no blogue em 7.05.09 (ex. interactivo)
  7. Que condições se têm que verificar para haver uma infinidade de soluções - a relação de Euler - OI2= R(R-2r) ou OI é a média geométrica entre R e R-2r
  8. Caso o circuncentro (O) esteja sobre o incírculo:
    1. R=r(1+√t2)
    2. O lugar geométrico dos ortocentros (H) dos triângulos poristas (nesta condição) é uma circumferência com centro sobre OI , tangente ao circuncírculo e de raio R-2r

25.6.10

A borboleta

Tomem-se A,B,C e D sobre uma circunferência de centro O e de tal modo que AC intersecte BD num ponto P. A perpendicular a OP tirada por P intersecta BC e AD em M e N, respectivamente.
Porque é que |MP|=|NP|?




Nota: Claro que pode deslocar A, B, C e D sobre cada circunferência e pode deslocar O fazendo variar a circunferência.

22.6.10

Exercício interactivo: a diferença de rectângulos

Determinar o rectângulo [ABCD] de área igual à diferença das áreas dos dois rectângulos coloridos na figura, a ele semelhantes, conhecendo A e a recta r que contém [AB].





Nota: Após resolver o exercício, pode calcular as áreas dos rectângulos para as comparar, verificando o resultado.

16.6.10

Exercício interactivo: quadrado-soma

Determinar o quadrado [ABCD] do qual A é dado sobre a recta r que contém o lado [AB] e que tem área igual à soma das áreas de dois quadrados coloridos da figura.



14.6.10

Teorema de Pitágoras - mais uma demonstração

Já abordámos demonstrações do Teorema de Pitágoras, usando arranjos diferentes de ocupação da mesma figura, calculando e comparando áreas.
Há muitas demonstrações. Algumas das que aqui vimos foram também abordadas como possíveis propostas para a leccionação dos 8º e 9º anos de escolaridade. Há ainda uma outra que foi apresentada em aulas onde se utilizaram alguns materiais de apoio que a escola adquiriu. Esta é análoga à que parte do quadrado de lado igual à soma dos catetos do triângulo rectângulo, coberto:
- ou por quatro triângulos rectângulos iguais e um quadrado sobre a hipotenusa;
- ou quatro triãngulos iguais e dois quadrados, um sobre um cateto e outro sobre o outro cateto.
A construção dinâmica que se segue parte do triângulo ABC, rectângulo em C, catetos BC=a e AC=b, hipotenusa AB=c. Constrói-se o quadrado de lado c, que fica preenchido por quatro triângulos rectângulos iguais e um quadrado de lado (a-b). Para esta figura que aparece inicialmente, é óbvio que o quadrado de lado c é coberto por 4 triângulos de área ab/2 e um quadrado de lado (a-b): c2=4(ab/2)+(a-b)2= 2ab+a2+b2-2ab=a2+b2.
Este resultado pode ser confirmado por uma cobertura de figura equivalente formada por dois quadrados - um de lado a e outro de lado b. Para ver o que se passa, basta ir clicando sobre cada um dos botões por ordem: 1, 2, 3 e 4.



11.6.10

Um exercício interactivo

Nesta altura, vale a pena enunciar um possível exercício de aplicação directa dos resultados de Pappus: Dados dois paralelogramos sobre os lados de um triângulo, determinar o paralelogramo que tem área igual à soma das áreas dos anteriores.



10.6.10

Ligando as pontas em volta do Teorema de Pitágoras





9.6.10

Teorema de Pitágoras e triângulos semelhantes sobre os lados do triângulo

Tal como aconteceu na entrada anterior, se em vez de retângulos semelhantes sobre os lados do triângulo retângulo, construirmos triângulos verifica-se que o triângulo construído sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos.

Pode deslocar-se os ponto A, B, C e R, os primeiros para olhar para triângulos retângulos diferentes e R para variar os triângulos semelhantes sobre os lados de um dado triângulo ABC.



(escrita conforme acordo ortográfico)

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8.6.10

Teorema de Pitágoras e retângulos semelhantes sobre os lados do triângulo

Sobre os lados do triângulo [ABC], retângulo em A,construímos três retângulos semelhantes. Verifica-se que o retângulo desenhado sobre a hipotenusa tem área igual à soma das áreas dos retângulos desenhados sobre os catetos. Este resultado é verificado para todos as figuras semelhantes construídas sobre os lados do triângulo retângulo.
Clicando sobre o botão Pappus? verifica-se a condição suficiente de Pappus (da entrada anterior).
Os pontos a verde A,B,C e D podem deslocar-se, fazendo variar o triângulo ABC e variar os retângulos para cada triângulo.



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