Lúnula de ouro

Na construção que se segue, quando Q, ao deslocar-se sobre C₁, coincide com C ou C'. os triângulos rectângulos [AMP], [PMQ], [QMR] e [RMB] são de ouro.





Interessante: M é o centro de gravidade da lúnula de ouro (C₂-C₁).

De facto,



1) O centro de gravidade de um círculo é o seu centro. (O₁ e O₂ são centros de gravidade de C₁ e C₂, respectivamente)
2) De um modo geral, O centro de gravidade de uma figura formada por dois círculos estará sobre O₁O₂ considerando O₁ e O₂ com pesos proporcionais às suas áreas.
3) A razão entre as áreas de dois círculos é a razão entre os quadrados dos seus raios
4) Divide-se o segmento O₁O₂ em segmentos com essa mesma razão. Podemos fazê-lo de uma forma aditiva (se as áreas se juntassem) ou de uma forma subtractiva como acontece no caso da lúnula (a vermelha).

Nota: Na construção que fez, para calcular os quadrados dos raios, a Mariana considerou o raio maior O₁ como unidade.

Na animação que se segue, vê-se que o centro de gravidade só coincide com M quando é áurea a razão entre os raios das circunferências que definem a lúnula

Lúnula de ouro

Desenhemos as circunferências C₁, de diâmetro AB, e C₂ de diâmetro AM, em que M divide AB em média e extrema razão.
Qualquer corda; AQ, de C₁ tirada por A fica dividida, pela intersecção, P, com C₂ em média e extrema razão. AQ/AP=Φ

Triângulo rectângulo de ouro

Um triângulo rectângulo de ouro é aquele em que a razão entre a hipotenusa e um cateto é o número de ouro.
Podemos, por isso, também dizer, que um triângulo rectângulo de ouro é todo o triângulo semelhante a um triângulo rectângulo de catetos e hipotenusa 1, √Φ e Φ.
Esta última definição evidencia três propriedades:
• Φ² = Φ + 1, é uma propriedade numérica do número de ouro (Φ é solução da equação x² = x + 1)
• Num triângulo rectângulo de ouro os lados estão em progressão geométrica sendo a razão √Φ
• √Φ =√(1.Φ), num triângulo rectângulo de ouro o cateto maior é a média geométrica entre o cateto menor e a hipotenusa.
Como construir um triângulo rectângulo de ouro?
Seja um segmento de recta [AB] e dividamo-lo em média e extrema razão. Basta tomar para hipotenusa a parte maior e para cateto a parte menor. O cateto maior é, como se pode verificar a média geométrica das duas partes.






Uma vez construído um triângulo rectângulo de ouro (pelo processo mostrado anteriormente), vemos que são semelhantes e consequentemente também de ouro, os triângulos [AMC] e [ABC]