A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

10.5.10

Triângulo retângulo de lados em progressão geométrica

Na construção que se segue, tomámos AB=c, variável, e construímos o triângulo tomando para lados AC=b=c.√Φ e BC=a=c/√Φ.
O triângulo assim obtido é um triângulo retângulo em B.




Esta família de triângulos retângulos é a única de lados em progressão geométrica.
De facto,
Sendo ABC um triângulo retângulo cujos lados meçam c/r, c, c.r (progressão geométrica de razão r), temos:
(c/r)2 + c2 = (cr)2 ou (r2)2 - r2 - 1 = 0.
Ora a raiz positiva desta equação do 2º grau em r2 é (1 + √5)/2, ou seja, o número de ouro.
Concluíndo: se num triângulo retângulo os lados estão em progressão geométrica, o quadrado da razão da progressão é "o número de ouro".

6.5.10

Mais outro triângulo rectângulo com razões áureas

Estamos a referir-nos ao triângulo de lados 1, 2, √5 que esteve presente em todas as construções que envolveram a razão áurea. No triângulo retângulo ABC, o lado AB tem o dobro do comprimento de BC.





Todos os triângulos podem ser decompostos em 4 triângulos geometricamente iguais e semelhantes ao triângulo dado (basta unir os pontos médios dos lados).
O triângulo a que nos estamos a referir tem uma característica especial: é o único triângulo passível de ser decomposto em 5 triângulos geometricamente iguais e semelhantes ao triângulo dado.



4.5.10

Outro triângulo rectângulo com razões áureas

Existem outros triângulos rectângulos que por conterem (ou esconderem) razões áureas são também muitas vezes apelidados de ouro.
Um desses triângulos é o triângulo de 3, 4 e 5





BF é a bissectriz do ângulo B que intersecta o lado AC em O.
D e F são os pontos de intersecção da bissectriz com o círculo de centro O e raio AO.
A’ é o ponto de tangência do círculo (de centro O e raio AO) com a hipotenusa. E é a intersecção da corda [AA’] com a bissectriz.
Então:
• D divide [BF] em média e extrema razão
• OE/ED= Φ/2
Podemos ainda referir que a razão entre a hipotenusa e o cateto menor é a razão entre dois números consecutivos da sequência de Fibonacci (5/3) e considerá-la uma aproximação (grosseira) do número de ouro

26.4.10

Lúnula de ouro

Na construção que se segue, quando Q, ao deslocar-se sobre C1, coincide com C ou C'. os triângulos rectângulos [AMP], [PMQ], [QMR] e [RMB] são de ouro.





Interessante: M é o centro de gravidade da lúnula de ouro (C2-C1).

De facto,



1) O centro de gravidade de um círculo é o seu centro. (O1 e O2 são centros de gravidade de C1 e C2, respectivamente)
2) De um modo geral, O centro de gravidade de uma figura formada por dois círculos estará sobre O1O2 considerando O1 e O2 com pesos proporcionais às suas áreas.
3) A razão entre as áreas de dois círculos é a razão entre os quadrados dos seus raios
4) Divide-se o segmento O1O2 em segmentos com essa mesma razão. Podemos fazê-lo de uma forma aditiva (se as áreas se juntassem) ou de uma forma subtractiva como acontece no caso da lúnula (a vermelha).

Nota: Na construção que fez, para calcular os quadrados dos raios, a Mariana considerou o raio maior O1 como unidade.

Na animação que se segue, vê-se que o centro de gravidade só coincide com M quando é áurea a razão entre os raios das circunferências que definem a lúnula



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Lúnula de ouro

Desenhemos as circunferências C1, de diâmetro AB, e C2 de diâmetro AM, em que M divide AB em média e extrema razão.
Qualquer corda; AQ, de C1 tirada por A fica dividida, pela intersecção, P, com C2 em média e extrema razão. AQ/AP=Φ




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Triângulo rectângulo de ouro

Um triângulo rectângulo de ouro é aquele em que a razão entre a hipotenusa e um cateto é o número de ouro.
Podemos, por isso, também dizer, que um triângulo rectângulo de ouro é todo o triângulo semelhante a um triângulo rectângulo de catetos e hipotenusa 1, √Φ e Φ.
Esta última definição evidencia três propriedades:
• Φ2 = Φ + 1, é uma propriedade numérica do número de ouro (Φ é solução da equação x2 = x + 1)
• Num triângulo rectângulo de ouro os lados estão em progressão geométrica sendo a razão √Φ
• √Φ =√(1.Φ), num triângulo rectângulo de ouro o cateto maior é a média geométrica entre o cateto menor e a hipotenusa.
Como construir um triângulo rectângulo de ouro?
Seja um segmento de recta [AB] e dividamo-lo em média e extrema razão. Basta tomar para hipotenusa a parte maior e para cateto a parte menor. O cateto maior é, como se pode verificar a média geométrica das duas partes.






Uma vez construído um triângulo rectângulo de ouro (pelo processo mostrado anteriormente), vemos que são semelhantes e consequentemente também de ouro, os triângulos [AMC] e [ABC]



22.4.10

Espiral construída sobre o triângulo de ouro

Vejamos como construir uma espiral sobre o triângulo de ouro ABC.
1. Traçamos a bissectriz do ângulo BAC que intersecta BC em D; o arco CA de centro D e raio DA é o primeiro arco da espiral.
2. Traçamos a bissectriz do ângulo ABC que intersecta AD em E; o arco AB de centro E e raio EA é o arco seguinte da espiral.
3. Traçamos a bissectriz do ângulo ADB que intersecta BE em F; o arco BD de centro F e raio FB é o arco seguinte da espiral.
4. Traçamos a bissectriz do ângulo DEF que intersecta DF em G; o arco DE de centro G e raio GE é o arco seguinte da espiral.
5. Traçamos a bissectriz do ângulo EFG que intersecta EG em H; o arco EF de centro H e raio HE é o arco seguinte da espiral.
6. Traçamos a bissectriz do ângulo FGH que intersecta FH em I; o arco FG de centro I e raio IF é o arco seguinte da espiral.
7. …







19.4.10

Outra característica da espiral de ouro

Descartes desigava-a por “espiral equiangular” pois o ângulo que raio vector de qualquer ponto com a tangente à curva nesse ponto é constante.
Note-se que a construção rigorosa exigiria a determinação do ponto “inicial” da espiral, o que evidentemente é impossível; o ponto K tomado na construção abaixo é apenas um ponto aproximado (quando os pontos tomados sobre os quarto arcos se movem, os valores dos ângulos sofrem pequenas alterações).




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Uma característica da espiral de ouro

Bernoulli designava esta curva por “espiral logarítmica” atendendo a que os raios dos arcos das sucessivas circunferèncias aumentam em progressão geométrica.
A razão desta progressão é o (incontornável!) número de ouro.



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15.4.10

Espiral de ouro

Um rectângulo de ouro goza da seguinte propriedade: se o dividirmos num quadrado e num rectângulo, o novo rectângulo é também de ouro. Este processo pode efectuar-se infinitamente.
O rectângulo de ouro ABCD foi dividido no quadrado EBCF e no rectângulo AEFD que também é rectângulo de ouro. Então AEFD também é divisível num quadrado GHFD e num rectângulo AEHG, novo rectângulo de ouro.




Podemos utilizar esta construção para obter uma “espital de ouro”:
- Com centro em E e raio EB traçamos o primeiro arco (arco de circunferência) da espiral.
- Com centro em I e raio GI traçamos o segundo arco da espiral.
- Com centro em J e raio JI traçamos o terceiro arco da espiral.
E assim sucessivamente.



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13.4.10

Pentágono – decomposição em triângulos de ouro

Ao traçarmos as diagonais de um pentágono regular, obtemos quatro conjuntos de triângulos semelhantes, todos eles “triângulos de ouro”:
- os triângulos semelhantes ao triângulo ADC;
- os triângulos semelhantes ao triângulo AFG;
-os triângulos semelhantes ao triângulo AEB;
-os triângulos semelhantes ao triângulo AEF.

Podemos considerar razões áureas, como por exemplo.
- o quociente de DA por DF;
- o quociente de DF por DJ;
- o quociente de AF por FJ

E ainda relações que envolvem o número de ouro:



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