29.3.10

Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l5 o lado do pentágono regular inscrito e por l10 o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l10, podemos obter geometricamente l5.


Na circunferência de centro O e raio OA, tomemos o ângulo ao centro AOB de 36°, a corda AB corresponde a l10 (lado do decágono regular inscrito).
Sobre a semi-recta AB, tomemos C tal que AO=AC. Por C traçamos uma tangente à circunferência; seja D o ponto de tangência.
Tendo AC um comprimento igual ao raio e sendo AB o lado do decágono regular, então B divide AC em média e extrema razão:
AC/AB=AB/BC ou AB2= AC.BC

Pela definição de potência de um ponto em relação à circunferência, CD2 =AC.BC. Logo CD=AB=l10 (lado do decágono).
No triângulo isósceles OAC, temos ∠OÂC=72°, então a corda OC da da circunferência de centro A e raio AO=AC corresponde a l5 (lado do pentágono regular inscrito). Em conclusão, dada uma circunferência de raio r, construindo um triângulo rectângulo com r e l10 como catetos, a hipotenusa é l5 (lado do pentágono).

Sem comentários: