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23.2.10

Média e extrema razão

“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão.” (KEPLER)

Supõe-se que o conceito de média e extrema razão se deve à escola pitagórica como resultado do seu afã de descobrir relações numéricas que exprimissem as harmonias da natureza. Foi através dos Elementos de Euclides que o conceito chegou aos nossos dias.
Dado o segmento AB, pretende-se dividi-lo em “duas partes desiguais tal que a parte menor e a maior estejam na mesma razão que entre a maior e o todo."
Foi aproximadamente nestes termos que Euclides, há 2300 anos, pôs o problema no Livro VI dos seus Elementos.



Por outras palavras: para dividir um segmento na razão média e extrema, a razão existente entre o comprimento do segmento inteiro e o de sua maior divisão (razão extrema) é igual à razão entre o comprimento desta maior divisão e o da menor (razão média)
Dado um segmento AB, trata-se de determinar um ponto M do segmento tal que o segmento AM seja o meio proporcional entre o segmento AB e o segmento MB. Ou seja, pretende-se determinar o ponto M para o qual são iguais as razões AB/AM e AM/MB.



O segmento AB tem comprimento constante; para facilitar, tomemos AB = 1. Então o comprimento de AM varia entre 0 e 1; logo a razão AB/AM varia de +∞ a 1, enquanto a razão AM/MB varia de 0 a +∞ . Há uma e uma só posição de M para a qual as duas razões são iguais: AB/AM = AM/MB.
Na figura abaixo, pode deslocar um ponto N do segmento AB e verificar que existe de facto apenas uma posição que iguala as duas razões: quando N coincide com M.


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