25.2.10

Outra divisão (subtractiva)

Deslocando o ponto N exteriormente ao segmento AB no sentido de B para A, notemos que a razão AB/NA varia de 0 a + , enquanto a razão NA/NB decresce de 1 a 0; existe, então uma posição de N para a qual as duas razões tomam o mesmo valor; designando essa posição de N por M’ temos AB/M’A = M’A/M’B. Ou seja, M’A é meio proporcional entre AB e M’B.

A circunferência, já traçada, com centro em C e raio CB intersectou a recta AC em D; mas também intersecta a recta AC em D´ (simétrico de D em relação a C); a circunferência com centro em A e raio AD’ intersecta a recta AB em M’.


Será possível determinar um outro ponto exterior ao segmento AB no sentido de A para B ? É evidente que não, visto que a distância de N a A é superior à distancia a B e ao comprimento de AB; logo AN não poderia ser meio proporcional entre AB e NB.

Em conclusão, numa recta AB, existem dois e só dois pontos, M e M’, que dividem o segmento AB em média e extrema razão em que AM (AM’) é meio proporcional entre AB e MB (MB’):
- M é interior ao segmento AB e os segmentos AM e MB são aditivos;
- M’ é exterior ao segmento AB e os segmentos M’A e M’B são subtractivos.
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