A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

7.9.09

Um ponto comum às mediatrizes de um triângulo

Teorema: As mediatrizes Δa, Δb e Δc dos três lados a, b, c de um triângulo ABC são concorrentes num ponto.














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A construção dinâmica não faz demonstração, mas é uma boa verificação, quer pela construção da terceira mediatriz a passar pelo ponto de intersecção das outras duas, quer pela construção da circunferência circunscrita ao triângulo




Demonstração: Tomemos, por exemplo, as mediatrizes dos lados a e b. Claro que estas são concorrentes (para serem paralelas, teriam de ser perpendiculares a lados paralelos e num triângulo não há lados paralelos). Chamemos O ao ponto de intersecção das mediatrizes Δa e Δb. Como O está na mediatriz de BC, OB=OC. Por O estar na mediatriz de AC, OA=OC. Em conclusão, OA=OB(=OC) e, por isso, O está na mediatriz de AB que é onde estão todos os pontos equidistantes de A e B.

Parece-nos um bom teorema para demonstrar no básico.

6.9.09

Mediatriz: definições, teoremas e lugares geométricos

25.8.09

Uma viagem do circuncentro

Considere ainda o triângulo ABC, em que C é um ponto livre sobre uma recta. Pode observar o rasto do circuncentro quando o vértice C percorre a recta.





Pode fazer variar a recta, deslocando R.
E pode mudar mesmo os pontos A e B, claro!
Que conclui?

24.8.09

As viagens do incentro

E a viagem do incentro dos triângulos ABC, enquanto C percorre uma recta?
Que acontece quando faz variar a recta r (usando R)?



A viagem do ortocentro

Po onde andará o ortocentro de um triângulo ABC enquanto C viaja sobre uma recta?





Pode deslocar C sobre r para ver H descrever o seu lugar geométrico. Pode deslocar o ponto R para mudar a recta em que C se desloca.

22.8.09

A viagem especial do baricentro

A última entrada propunha olhar para o lugar geométrico dos pontos notáveis dos triângulos ABC em que A e B são extremos de um arco de circunferência (pontos sobre uma circunferência) e C percorre o arco AB.

Essa entrada lembrou-nos a forma redutora como, por razões utilitaristas e de circunstância, apresentamos aos estudantes alguns lugares geométricos. No básico, e depois no secundário em problemas analíticos, centramo-nos muito no lugar geométrico do baricentro quando um vértice percorre uma recta paralela ao seu lado oposto.

Será que perdemos alguma coisa por não considerarmos uma recta qualquer?





O que é que acontece se a recta r em que se desloca B não for paralela a AC? Pode modificar as posições de r relativas a AC, deslocando R. Pode mudar tudo.
Se deslocar B sobre a recta r obterá o rasto de G no seu lugar geométrico.

Não é melhor manter o caso mais geral? Ou abri-lo sempre para grupos de alunos, tanto em termos básicos como em termos de geometria analítica?

21.8.09

Arcos

Na anterior entrada, propusemos um olhar sobre o lugar geométrico de pontos P obtidos por secantes a uma circunferência perpendiculares - AP e BP - determinando uma delas por um ponto M, livre na circunferência. Podem apresentar-se aos estudantes outros casos interessantes. Por exemplo, determinar o lugar geométrico dos pontos P sobre uma recta AM e tal que MP=BM, em que A é o extremo do arco e M livre sobre o arco AB da circunferência.



Nesta entrada, propomos que se tome um ponto C sobre o arco AB. Qual será o lugar geométrico de cada um dos pontos notáveis do triângulo ABC, quando C percorre AB?





Defina cada um dos lugares geométricos e explique-os, se possível. A e B, deslocando-se, permitem definir novos arcos. Deslocando C sobre o arco AB, pode obter o rasto dos pontos notáveis do triângulo.

Para os estudantes do ensino secundário, ganha interesse especial a escolha de referenciais seguida da determinação das equações dos lugares geométricos.

19.8.09

Arcos

Tomámos um arco de circunferência AB e um ponto M livre em AB. Chamamos P às projecções ortogonais de B sobre AM. Qual será o lugar geométrico dos pontos P quando M percorre AB ?






Pode deslocar M sobre AB e A ou B para mudar de arco...
Haverá algum caso em que P descreve o próprio AB?

16.8.09

Olhar um ponto fixo

Tomámos um triângulo ABC, rectângulo em B. Por B passamos a recta r, sobre a qual projectamos ortogonalmente A e C, obtendo M e N. A animação que se segue permite ver que, quando r varre o triângulo, as circunferências de diâmetro MN têm um ponto fixo e permite ver que são envolvidas por uma curva cordial.





Qual será o lugar geométrico dos centros das circunferências de diâmetro MN, quando as rectas r que passam por B varrem o plano?

15.8.09

o lugar geométrico e o problema

Temos uma circunferência de centro O e um ponto P exterior, no caso do exercício interactivo que se mostra. Como determinar rigorosamente os pontos M e N da circunferência (apontados em cor de rosa), colineares com P e tais que |MN|=|MP|?






No caso presente, para aquela circunferência e aquele ponto P, os pontos respeitando as relações de M e N serão únicos?


Para além de procurarmos quais os passos da construção geométrica para a determinação de M e N, podemos discutir a existência de soluções, para circunferências e pontos P com outras posições relativas.

13.8.09

O lugar geométrico

Para os exercícios e problemas de construção, é muito útil saber as definições. É útil saber que a mediatriz de um segmento AB é a perpendicular a AB tirada pelo seu ponto médio. Mas, para resolver alguns problemas, é ainda mais útil reconhecer a mediatriz pelas suas propriedades, por exemplo, saber que os pontos da mediatriz são equidistantes de A e B e que um qualquer ponto fora dela não está à mesma distância de A e de B. Dizemos que a mediatriz de AB é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B, com esse sentido.
O "lugar geométrico" não só foi sendo menos usado no ensino básico, como foi sendo diminuído até ser só parte do que é de facto. Não chamamos lugar geométrico a qualquer conjunto de pontos satisfazendo uma determinada propriedade.

Aqui fica um exercício interactivo do ensino básico, para o qual são úteis lugares geométricos e propriedades dos quadriláteros.
Boas escolhas!

Tomámos um ângulo AÔB. Queremos determinar um ponto M do lado OA de tal modo que |MA|=|OP|, sendo P um ponto de OB e de uma perpendicular a OB tirada por M (ou, dito de outro modo, sendo P a projecção ortogonal de M sobre OB)






Estes problemas ganham um novo interesse para os estudantes com a discussão da existência e da unicidade da solução.



Estamos a aproveitar para chamar a atenção para a importância dos lugares geométricos na resolução de problemas formativos. A divulgação de construções dinâmicas de lugares geométricos ao longo das últimas semanas será prosseguida com a apresentação de problemas em que a abordagem pela via dos lugares geométricos é útil.

E aproveitamos para defender o ponto de vista ou conselho de Aurélio Fernandes (ou do seu mentor Caronnet) para enfrentar estes problemas: Com uma folha de papel e um lápis, parta de um esboço do problema como se estivesse já resolvido...

9.8.09

Por puro acaso





Elipses. Para cada uma delas, tangentes e perpendiculares às tangentes nos pontos de tangência. Perpendiculares a estas perpendiculares tiradas pelos extremos do eixo maior intersectam-se em pontos que descrevem as curvas desta entrada ...

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção