A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

5.6.09

Problema de Malfatti

Um dos problemas de construção que ocupou algum tempo a António Aurélio e acabou por ser resolvido por Mariana Sacchetti, seguindo uma construção de Steiner, é conhecido como problema de Malfatti. Desistimos de o colocar como um problema interactivo (está aliás proposto no Geometriagon, como exercício 869), mas aqui o deixamos alinhavado.

O problema de Malfatti é o seguinte:

Num triângulo ABC inscrever três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo.





A Mariana também estudou e resolveu

  • o chamado problema original de Malfatti (Geometriagon 870)

    Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima

  • e o chamado problema dual do problema de Malfatti (Geometriagon 868)

    Dados dois círculos circunscrever-lhes os dois triângulos equiláteros de área mínima.



Aqui ficam os enunciados.

2.6.09

Perspectiva de Mannheim

Sejam A’, B’, C’ os pontos de contacto das três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC com o circuncírculo. Os triângulos ABC e A’B’C’ estão em perspectiva de centro P.



Centro radical das circunferências de Mannheim

O centro radical da três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC é um ponto Cr que é colinear com o incentro I e o circuncentro O.



1.6.09

Circunferências de Mannheim

Além da circunferência tangente aos lados de vértice em C, há duas outras: a tangente aos lados de vértice em A e a tangente aos lados de vértice em B.




31.5.09

Das circunferências de Thebault à de Mannheim

Publicamos de novo uma construção recente: as circunferências de Thebault.





Se deslocar o ponto P sobre a recta BC até coincidir com, por exemplo o vértice C, verificará que a circunferência de centro C2 passa a ter raio 0; a circunferência de centro C1 fica tangente aos lados BC e AC e à circunferência circunscrita - é a chamada “circunferência de Mannheim”.

Nota: Os pontos de tangência da Circunferência de Mannheimm aos lados BC e AC são as intersecções com estas rectas da perpendicular à bissectriz do ângulo em C, tirada pelo incentro I de ABC. Porquê?

Com um duplo clique sobre a figura, tem acesso ao GeoGebra e à construção feita para trabalhar sobre ela ou a partir dela.

21.5.09

Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são congruentes à circunferência inscrita no triângulo: r=r1=r2=r3=r4=r5=r6



Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são tangentes a uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo e de raio ONg.



19.5.09

Círculo de Thebault - Propriedades

Os seis centros das circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel situam-se sobre uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo.



15.5.09

Circunferências de Thebault

Exercício Interactivo
Determine as circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P dado sobre BC.



14.5.09

Circunferências de Thebault

Circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P de BC são circunferências tangentes às rectas AP e BC e ao circuncírculo do triângulo.




2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção