A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

2.6.09

Perspectiva de Mannheim

Sejam A’, B’, C’ os pontos de contacto das três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC com o circuncírculo. Os triângulos ABC e A’B’C’ estão em perspectiva de centro P.



Centro radical das circunferências de Mannheim

O centro radical da três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC é um ponto Cr que é colinear com o incentro I e o circuncentro O.



1.6.09

Circunferências de Mannheim

Além da circunferência tangente aos lados de vértice em C, há duas outras: a tangente aos lados de vértice em A e a tangente aos lados de vértice em B.




31.5.09

Das circunferências de Thebault à de Mannheim

Publicamos de novo uma construção recente: as circunferências de Thebault.





Se deslocar o ponto P sobre a recta BC até coincidir com, por exemplo o vértice C, verificará que a circunferência de centro C2 passa a ter raio 0; a circunferência de centro C1 fica tangente aos lados BC e AC e à circunferência circunscrita - é a chamada “circunferência de Mannheim”.

Nota: Os pontos de tangência da Circunferência de Mannheimm aos lados BC e AC são as intersecções com estas rectas da perpendicular à bissectriz do ângulo em C, tirada pelo incentro I de ABC. Porquê?

Com um duplo clique sobre a figura, tem acesso ao GeoGebra e à construção feita para trabalhar sobre ela ou a partir dela.

21.5.09

Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são congruentes à circunferência inscrita no triângulo: r=r1=r2=r3=r4=r5=r6



Circunferências de Thebault - Propriedades

As seis circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel são tangentes a uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo e de raio ONg.



19.5.09

Círculo de Thebault - Propriedades

Os seis centros das circunferências de Thebault do triângulo ABC referentes aos pés das cevianas do ponto Ng de Nagel situam-se sobre uma circunferência de centro no centro O do circuncírculo.



15.5.09

Circunferências de Thebault

Exercício Interactivo
Determine as circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P dado sobre BC.



14.5.09

Circunferências de Thebault

Circunferências de Thebault do triângulo ABC em relação a um ponto P de BC são circunferências tangentes às rectas AP e BC e ao circuncírculo do triângulo.




7.5.09

Triângulo incêntrico

O triângulo incêntrico, A’B’C’, do triângulo ABC é o triângulo ceviano cujos vértices são os pés das bissectrizes. Verifica-se que o circuncírculo do triângulo incêntrico intersecta o triângulo ABC em três segmentos, A'A’’, B'B’’, C'C’’, tais que o comprimento de um deles é a soma dos outros dois.



Triângulos Porísticos

Dois triângulos dizem-se porísticos se têm o mesmo incírculo e o mesmo circuncírculo.
Exercício interacitvo:
Na construção abaixo, é dado o triângulo ABC. Determine o seu triângulo porístico de que é dado o vértice P.






Porisma: s. m. || (matem.) problema, cuja solução consiste em tirar das condições expostas no enunciado uma verdade geométrica. F. gr. Porisma.
Porístico: relativo a porisma
(Dicionário Aulete)

4.5.09

Triângulos de Sharygin

No triângulo ABC, seja:
- A’ o pé da bissectriz do ângulo interno A;
- B’ o pé da bissectriz do ângulo interno B;
- C’ o pé da bissectriz do ângulo interno C;

- A’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice A;
- B’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice B;
- C’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice C.

Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’, BB’, CC’. O triângulo definido por estas três rectas é o “primeiro triângulo de Sharygin”.







Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’’, BB’’, CC’’. O triângulo definido por estas três rectas é o “segundo triângulo de Sharygin”.






Os dois triângulos são semelhantes.
O eixo de perspectiva ente o triângulo ABC e os dois triângulos de Sharygin é a recta de Lemoine

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção