18.9.09

As medianas de um triângulo são concorrentes

Teorema: As medianas de um triângulo ABC são concorrentes













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Chamamos a ao lado BC, b a AC e c a AB. Chamamos Ma ao ponto médio de a (BMa=MaC), Mb ao ponto médio de b e Mc ao ponto médio de c. Ao segmento que tem extremos num vértice e no ponto médio do seu lado oposto chamamos mediana do triângulo, As medianas do triângulo ABC são: AMa, BMb e CMc. Lembramos ainda que MaMb é paralelo a AB, MbMc paralelo a BC e MaMc paralelo a AC (a homotetia de centro C e razão 2 transforma MaMb em AB e, por isso, não só MaMb é paralelo a AB como AB=2 MaMb, ...).

Demonstração: As medianas AMa e BMb intersectam-se num ponto a que chamamos G. Consideremos o triângulo AGB e os pontos D e E médios de AG e BG. Como já vimos, DE é paralelo a AB e paralelo a MaMb e AB=2DE=2MaMb. MaMb e DE são paralelos e iguais, logo MaMbED é um paralelogramo, cujas diagonais se cortam ao meio, em G ponto médio de EMb. Construindo, de modo análogo, um paralelolgramo relativo ás medianas BMb e CMc. que tem diagonais EMb e FMc a intersectar-se a meio, em G, ponto médio de EMb. Fica assim provado que a mediana CMc passa por G.

2 Commentários:

Blogger Carol Innocente escreveu...

Vocês podem me ajudar a construir um triângulo, conhecendo apenas a altura e mediana relativa ao vértice A e o raio do círculo circunscrito?

6:27 da tarde  
Blogger A. Martins escreveu...

Traçar um segmento de comprimento ha: um extremo é o vértice A, o outro é o pé Ha da perpendicular. A perpend. a ha em Ha é a reta BC. Traçar a circunf. de centro A e raio ma: a interseção com a reta BC é o pé Ma da mediana. A perpend. p a BC por Ma passa por O. A circunf de raio R e centro em A passa também por O, logo interseta p no ponto O. Traçada a circunf circunscrita, temos B e C.

Não terá recebido a resposta que foi enviada para o seu endereço? Pode dizer-nos se recebeu?

Aurélio Fernandes.

5:43 da tarde  

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