30.9.09

As alturas e as mediatrizes concorrentes

As alturas de um triângulo satisfazem a condição de Ceva suficiente para serem concorrentes




Demonstração: Seja o triângulo ABC e as suas alturas AD, BE e CF. Os triângulos em que as alturas dividem o triângulo são semelhantes dois a dois. Por exemplo, o triângulo ABE é semelhante ao triângulo ACF, porque são ambos rectângulos e têm o ângulo A em comum. E, em consequência, AF/EA=CF/BE (=AC/AB).
De modo análogo, se deduz que , CE/DC=BE/AD(=BC/AC), CF/AD=BF/BD(=BC/AB)
Assim, (AF/AE).(CE/DC).(CF/AD)=(CF/BE).(BE/AD).(BF/BD) e

(AF/FB) .(BD/DC).(CE/AE)=1.






Concorrentes são também as mediatrizes de um triângulo, já que contêm alturas de outro triângulo.

As mediatrizes dos lados do triângulo ABC contêm as alturas do triângulo DEF (sendo D, E e F os pontos médios de BC, AC e AB respectivamente). A construção dinâmica que se segue ilustra isso mesmo.














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6 Commentários:

Blogger Antonio Aurelio escreveu...

Eu até sei qual é esse outro triângulo. Mas... e o resto da malta, chegará lá?

12:59 da manhã  
Anonymous Anónimo escreveu...

Cais triangulo? Não vejo nada!

12:26 da tarde  
Blogger Ruan escreveu...

Decente

5:23 da manhã  
Blogger A. Martins escreveu...

Está bem. Pronto... Publiquemos o desenho.... dinâmico.

7:26 da tarde  
Blogger Guilherme escreveu...

mt bom, ajudou bastante, vlwwww!

11:44 da tarde  
Anonymous Anónimo escreveu...

Mt bom, vlw me ajudou mt, brigado

11:45 da tarde  

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