30.9.09

As alturas e as mediatrizes concorrentes

As alturas de um triângulo satisfazem a condição de Ceva suficiente para serem concorrentes


[AdAM]


Demonstração:
Seja o triângulo ABC e as suas alturas AD, BE e CF. Os triângulos em que as alturas dividem o triângulo são semelhantes dois a dois. Por exemplo, o triângulo ABE é semelhante ao triângulo ACF, porque são ambos rectângulos e têm o ângulo A em comum. E, em consequência, AF/EA=CF/BE (=AC/AB).
De modo análogo, se deduz que , CE/DC=BE/AD(=BC/AC), CF/AD=BF/BD(=BC/AB)
Assim, (AF/AE).(CE/DC).(CF/AD)=(CF/BE).(BE/AD).(BF/BD) e

(AF/FB) .(BD/DC).(CE/AE)=1.






Concorrentes são também as mediatrizes de um triângulo, já que contêm alturas de outro triângulo.

As mediatrizes dos lados do triângulo ABC contêm as alturas do triângulo DEF (sendo D, E e F os pontos médios de BC, AC e AB respectivamente). A construção dinâmica que se segue ilustra isso mesmo.


[AdAM]



Nota: ver: as alturas de um triângulos são mediatrizes de outro

6 comentários:

Aurelio Fernandes disse...

Eu até sei qual é esse outro triângulo. Mas... e o resto da malta, chegará lá?

Anónimo disse...

Cais triangulo? Não vejo nada!

Unknown disse...

Decente

adealmeida disse...

Está bem. Pronto... Publiquemos o desenho.... dinâmico.

Guilherme disse...

mt bom, ajudou bastante, vlwwww!

Anónimo disse...

Mt bom, vlw me ajudou mt, brigado