25.11.08

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



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Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo IaIbIc dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de IaIbIc; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice Ib, a simétrica da mediana IbMb' passa pelo ponto médio Mb do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de IaIbIc basta, portanto, traçar as rectas IaMa,IbMb, IcMc. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" Md.



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20.11.08

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


Ponto de Euler

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, A'BC, AB'C e ABC' intersectam-se no ponto E de Euler.

11.11.08

Ponto de reflexão de Euler

Os circuncentro, ortocentro e baricentro estão alinhados sobre a recta de Euler. As transformadas da recta de Euler por reflexão relativamente a cada um dos lados do triângulo [ABC] (como eixos da reflexão) encontram-se num ponto do circuncírculo a que damos o nome de ponto de reflexão de Euler.



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Ponto de Fhurmann

O segmento definido pelo incentro I e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o centro N do círculo de nove pontos como ponto médio: Fh é simérico de I em relação a N.

O segmento definido pelo circuncentro O e pelo ponto de Fhurmann Fh tem o ponto Sp como ponto médio: Fh é simérico de O em relação a Sp.


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10.11.08

Ponto de Schiffler

Seja I o centro do círculo inscrito a [ABC]. Definamos os seguintes triângulos: [AIB], [AIC], [BIC]. Schiffler provou que as rectas de Euler dos quatro triângulos têm um ponto comum; designámo-lo por Sch.





e – recta de Euler do triângulo [ABC]
e1 – recta de Euler do triângulo [AIB]
e2 – recta de Euler do triângulo [BIC]
e3 – recta de Euler do triângulo [AIC]

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4.11.08

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.




Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

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3.11.08

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [MaMbMc] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [MaMbMc].






Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam Ea, Eb, Ec os seus centros. Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por ea, eb, ec. O triângulo formado pelas rectas ea, eb, ec é homotético do triângulo medial de ABC; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



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28.10.08

Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke1 de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’]. Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke1.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke2.



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27.10.08

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke1 e Ke2 os pontos de Kenmotu e Br1 e Br2 os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K1 e K2 os inversos dos pontos de Kenmotu e B1 e B2 os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K1, K2, B1, B2 são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.




Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

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Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke1 e Ke2.
Ke1 e Ke2 separam harmonicamente O e K.



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2014
EUCLIDES
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