A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

21.2.08

Homologia e triângulo com pontos na recta limmite

Exercício interactivo

Pela homologia de centro O, eixo e e recta limite l, determinar a imagem do triângulo [ABC] que é intersectado pela recta limite em J e K.



20.2.08

Homologia e rectas com ponto comum sobre a recta limite

Exercício interactivo

Na homologia definida pelo centro O, eixo e, recta limite l, determine as rectas homólogas das rectas r, e s, que se intersectam no ponto P de l.


18.2.08

Homólogo de um segmento

Exercício interactivo


Na homologia definida pelos centro O, eixo e e recta limite l, determine o homólogo do segmento [AB].



14.2.08

Teorema de Desargues e homologia

No seu Curso de Geometria Projectiva, Jayme Rios de Sousa, enuncia o Teorema de Desargues: “Se dois triângulos [ABC] e [A’B’C’], sem elementos comuns, estiverem referidos entre si de modo que as rectas AA’, BB’, CC’ têm um ponto comum O, então as rectas que contém os lados AB e A’B’, AC e A’C’, BC e B’C’ intersectam-se em pontos colineares.”
E reciprocamente.
Claro que estes triângulos são homológicos: o ponto comum é o centro de homologia e a recta sobre a qual se intersectam os lados correspondentes, é o eixo e de homologia.



11.2.08

Paralelismo e homólogos de pontos no infinito

Há duas rectas que desempenham um papel importante em questões de homologia: as rectas limite, l e l’:
- a recta limite l é a recta original que tem como imagem a recta do infinito (assim, se as rectas r e s se intersectam num ponto de l, as suas imagens r’ e s’ serão paralelas) ;
- a recta limite l’ é a imagem da recta do infinito (assim, se as rectas r e s são paralelas, as suas imagens r’ e s’ intersectam-se sobre l’).
As rectas limite, como rectas homólogas que são, intersectam-se num ponto do eixo que, atendendo à definição, é ponto impróprio; logo as rectas limite são paralelas ao eixo.

Vejamos como determinar as rectas limite, supondo conhecidos o centro, o eixo e um par de pontos homólogos (A, A’); tomemos um ponto E sobre o eixo e tracemos as rectas AE e A’E;
- tiremos por O uma paralela à recta A’E - a sua intersecção P com a recta AE’ é um ponto de l ;
- tiremos por O uma paralela à recta AE - a sua intersecção Q com a recta AE é um ponto de l’.
Notemos que [OPEQ] é um paralelogramo; então OP = EQ e concluímos:
a distância do centro à recta limite l é igual à distância do eixo à recta limite l’.


7.2.08

Um centro para uma homologia

[Exercício interactivo:]

Determinar o centro O da homologia de eixo e que transforma A, B e C em pontos das rectas a, b e c, respectivamente.

4.2.08

Reconstruir uma homologia a partir de originais e seus homólogos

[Exercício interactivo]

Determinar o eixo e o centro da homologia que transforma um triângulo noutro (dados).

2.2.08

Reconstruir um triâgulo a partir do homólogo

[Exercício interactivo]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o triângulo [A'B'C'] e o transformado C de C'. Determine A e B.



1.2.08

Determinar homólogo de um ponto

[Exercício interactivo:]
Na homologia de centro O e eixo e, é dado o par de pontos homólogos (A,A'). Determine o homólogo do original B.

30.1.08

Homologia

Em tempos propusemo-nos, neste blogue, apresentar temas de geometria hoje pouco ou nada abordados nos programas portugueses dos ensinos secundário e superior; não que tenham perdido interesse, mas não há tempo para tudo! A nossa finalidade era fornecer uma base para resolver muitos dos problemas apresentados no Geometriagon. Atendendo a que têm aparecido recentemente problemas que exigem conhecimentos de homologia, propomo-nos, portanto, dedicar alguma atenção a esta transformação geométrica. Utilizaremos basicamente duas obras que tratam este tema:

  • "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada" de Fernando Izquierdo Ascensi

  • "Curso de Geometria Métrica" de Puig Adam.


  • A homologia é um caso particular de conjunto mais vasto de transformações designadas por homografias.

    "Duas figuras planas são homográficas quando se correspondem ponto a ponto e recta a recta, de tal modo que a todo o ponto e recta incidentes numa das figuras correspondem um ponto e uma recta também incidentes na outra."

    Um exemplo muito simples é a projecção de uma figura contida num plano sobre outro plano a partir de um ponto:




    Uma Homologia é uma homografia em que:

    • os pontos homólogos estão alinhados com um ponto fixo designado por “centro de homologia”, O; cada recta que passa por O tem como imagem ela própria – recta dupla;

    • as rectas homólogas cortam-se em pontos de uma recta dita “eixo de homologia”, e; cada ponto do eixo tem como imagem ele próprio – recta de pontos duplos.



    Nota:
    A homografia da construção dinâmica é uma homologia. Pode deslocar qualquer dos planos ou o ponto O, e pode deslocar qualquer dos vértices da figura. Verá que quando o desloca para a charneira e ele coincide com a sua projecção. Sobre essa charneira estão todos os pontos da homologia de centro O e eixo e.

    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção