30.1.08

Homologia

Em tempos propusemo-nos, neste blogue, apresentar temas de geometria hoje pouco ou nada abordados nos programas portugueses dos ensinos secundário e superior; não que tenham perdido interesse, mas não há tempo para tudo! A nossa finalidade era fornecer uma base para resolver muitos dos problemas apresentados no Geometriagon. Atendendo a que têm aparecido recentemente problemas que exigem conhecimentos de homologia, propomo-nos, portanto, dedicar alguma atenção a esta transformação geométrica. Utilizaremos basicamente duas obras que tratam este tema:

  • "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada" de Fernando Izquierdo Ascensi

  • "Curso de Geometria Métrica" de Puig Adam.


  • A homologia é um caso particular de conjunto mais vasto de transformações designadas por homografias.

    "Duas figuras planas são homográficas quando se correspondem ponto a ponto e recta a recta, de tal modo que a todo o ponto e recta incidentes numa das figuras correspondem um ponto e uma recta também incidentes na outra."

    Um exemplo muito simples é a projecção de uma figura contida num plano sobre outro plano a partir de um ponto:




    Uma Homologia é uma homografia em que:

    • os pontos homólogos estão alinhados com um ponto fixo designado por “centro de homologia”, O; cada recta que passa por O tem como imagem ela própria – recta dupla;

    • as rectas homólogas cortam-se em pontos de uma recta dita “eixo de homologia”, e; cada ponto do eixo tem como imagem ele próprio – recta de pontos duplos.



    Nota:
    A homografia da construção dinâmica é uma homologia. Pode deslocar qualquer dos planos ou o ponto O, e pode deslocar qualquer dos vértices da figura. Verá que quando o desloca para a charneira e ele coincide com a sua projecção. Sobre essa charneira estão todos os pontos da homologia de centro O e eixo e.

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