26.7.06

Sexto despertar dos geómetras.

Vamos dar por finda a série de despertares sobre o inesgotável manancial de propriedades dessa figura geométrica tão enganosamente simples: TRIÂNGULO.
E vamos terminar com um conjunto de propriedades que, ao contrario das anteriores, não foram compiladas de nenhuma das obras a que recorremos ( queremos destacar em especial a "Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi" e "Geometria Métrica" de Puig Adam). Resultaram do esforço investigativo da Mariana; daí os designarmos por "Teoremas da Mariana" (se algum geómetra de outros tempos já tinha descoberto estas propriedades, as nossas desculpas por o estarmos a ignorar; por vezes, em Ciência, estas coisas acontecem!).
Dispensamo-nos de enunciar os Teoremas da Mariana, pois as imagens, de sua autoria, falam por si. Pode ter tudo em tamanho decente, clicando sobre a ilustração(este belo rectângulo pintado que se segue):



São exemplos de problemas em que se aplicam estas propriedades os 472, 473, 474, 475, 476, 500, 501, etc do GEOMETRIAGON

11.7.06

Quinto despertar dos geómetras.

Triângulo órtico; ortocentro

Dado o triângulo [ABC], sejam Ha, Hb e Hc os pés das alturas. O triângulo [HaHbHc] é o "triângulo órtico" do triângulo dado.


Verifica-se que:

  • os lados de um triângulo (acutângulo) são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico;


  • as alturas de um triângulo são as bissectrizes do triângulo órtico;


  • o triângulo órtico é o o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito em [ABC];


  • a área de um triângulo é dada por p'.R, produto do semi-perímetro do triângulo órtico pelo raio do círculo circunscrito;


  • os pontos A, B, C, H gozam da propriedade seguinte: qualquer um deles é ortocentro do triângulo formado pelos outros três.


  • os vértices de um triângulo são os exincentros do seu triângulo órtico;


  • o ortocentro de um triângulo é incentro do seu triângulo órtico;



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