26.7.06

Sexto despertar dos geómetras.

Vamos dar por finda a série de despertares sobre o inesgotável manancial de propriedades dessa figura geométrica tão enganosamente simples: TRIÂNGULO.
E vamos terminar com um conjunto de propriedades que, ao contrario das anteriores, não foram compiladas de nenhuma das obras a que recorremos ( queremos destacar em especial a "Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi" e "Geometria Métrica" de Puig Adam). Resultaram do esforço investigativo da Mariana; daí os designarmos por "Teoremas da Mariana" (se algum geómetra de outros tempos já tinha descoberto estas propriedades, as nossas desculpas por o estarmos a ignorar; por vezes, em Ciência, estas coisas acontecem!).
Dispensamo-nos de enunciar os Teoremas da Mariana, pois as imagens, de sua autoria, falam por si. Pode ter tudo em tamanho decente, clicando sobre a ilustração(este belo rectângulo pintado que se segue):

A reconstrução em Geogebra de António Aurélio
Eis o desenho de Mariana:
outras notas de então que não revemos agora:
São exemplos de problemas em que se aplicam estas propriedades os 472, 473, 474, 475, 476, 500, 501, etc do GEOMETRIAGON
EM VOLTA DOS TRiÂNGULOS

RESULTADOS:
A Mariana disse que as demonstrações não couberam na nota onde nos deu conta do que foi vendo.
Boas figuras explicam tudo - diz o Aurélio.
Sempre pode mover um ou outro ponto se houver algum interesse nisso.


Construído com prazer e com ReC de R. Grothmann.

11.7.06

Quinto despertar dos geómetras.

Triângulo órtico; ortocentro

Dado o triângulo [ABC], sejam Ha, Hb e Hc os pés das alturas. O triângulo [HaHbHc] é o "triângulo órtico" do triângulo dado.


[A.A.F.]
Verifica-se que:

  1. os lados de um triângulo (acutângulo) são as bissectrizes exteriores do seu triângulo órtico;


  2. as alturas de um triângulo são as bissectrizes do triângulo órtico;


  3. o triângulo órtico é o o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito em [ABC];


  4. a área de um triângulo é dada por p'.R, produto do semi-perímetro do triângulo órtico pelo raio do círculo circunscrito;


  5. os pontos A, B, C, H gozam da propriedade seguinte: qualquer um deles é ortocentro do triângulo formado pelos outros três.


  6. os vértices de um triângulo são os exincentros do seu triângulo órtico;


  7. o ortocentro de um triângulo é incentro do seu triângulo órtico;



3.7.06

Quarto despertar dos geómetras.

Mais propriedades dos círculos exinscritos

  • Dado um triângulo [ABC], os pontos Ia, Ib e Ic, centros dos círculos exinscritos, definem uma circunferência. Seja Oe o seu centro; o ponto Oe e o incentro I definem um segmento |OeI| cujo ponto médio é o centro O do círculo circunscrito. O raio do círculo dos exincentros tem comprimento duplo do raio do círculo circunscrito: Re = 2R.


  • Se, a partir de Ia e de I, tirarmos perpendiculares para o lado [BC], os pés das perpendiculares definem um segmento cujo ponto médio é Ma, ponto médio do lado. O mesmo se passa com I, Ib e I, Ic.


  • O círculo circunscrito contem os pontos médios dos lados do triângulo de vértices Ia, Ib, Ic. E contém também os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro a I.


  • as circunferências BCIa, CAIb, ABIc passam pelo incentro I;



  • [A.A.F.]

    notícias da conspiração

    De vez em quando, quando tudo me parece parado que é quando me ocupo com o reboco de alguma lamentação doentia sobre o que não é nem matemática nem ensino da glória, ouço vozes que me avisam sobre o "estalar da porcelana da noitinha da geometria". O António Aurélio e a Mariana continuaram a estudar os problemas e a geometria do triângulo e há quem diga que há propriedades que escaparam a toda a gente, mas foram apanhadas nas redes de pesca da Mariana que não se cansa de desenhar na praia. Já ando a pedir as necessárias autorizações, apoios e tempo para tornar públicas as elocubrações marianas, em primeira mão, neste lugar geométrico. Não resisto a falar disto para aguçar o apetite de algum eventual leitor tentado a ir de férias sem querer saber.

    No dia 17 de Julho, Arsélio & Aurélio encontrar-se-ão em Famalicão, com Cinderella, com a geometria e com professores de uma ecola básica. Não há encontros felizes?

    ass. Arsélio Martins