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8.6.06

Terceiro despertar dos geómetras.

Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I - incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r - círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo - círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por Ia, Ib, Ic os centros das três circunferências exinscritas.
Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por Ia, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por Ib, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por Ic. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.


Propriedades.

  • A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.


  • As circunferências BCIa, CAIb, ABIc intersectam-se em I.


  • Os pontos Ia, Ib, Ic formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.


  • Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.


  • ra + rb + rc= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; ra: exin-raio, etc)


  • |OMa| + |OMb| + |OMc|= r+R


  • |OI|2 = R (R -2 r)


  • |OIi|2= R (R + 2ri), em que i = a, b, c.


  • A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.


  • A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2ri R, com i = a, b, c.


  • Seja T1 o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T2 o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
    |AT2| = p,    |AT1| = p - |BC| e |T1T2| = |BC|.


  • B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [IIa]




    António Aurélio Fernandes informa:
    Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon

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