GEOMETRIA

16.1.14

Com régua e compasso euclidianos, transferir distâncias

Proposição II - De um ponto dado tirar uma linha recta igual á outra recta dada , Euclides usa a sua régua não graduada e o seu compasso colapsante. Os passos dessa construção são ilustrados na construção que se segue:

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

São dados três pontos O, A, B.
Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se cortam reciprocamente em D. Tirando as retas OA, OD e AD (Postulado I), a demonstração da proposição I, já feita, garante que OA=OD=AD e ADO é um triângulo equilátero
Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centrada em A e a reta AD que, pelo postulado II, podemos prolongar até encontrar essa circunferência em E tal que AE=AB, pela Definição XV
A circunferência de centro D a passar por E corta a reta OD (prolongada) em F tal que DF=DE, pela Definição XV.
Como sabemos que são iguais as partes DO da reta DF e DA da reta DE , também são iguais as partes residuais OF de DF e AE de DE, para quem acredita no Axioma III. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
Finalmente, como OF=AE e AE=AB, pelo Axioma I. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si. se conclui que OF=AB e por consequencia temos tirado do ponto O a linha recta OF egual a outra dada AB.

Tudo quanto é nova transcrição dos "Elementos" aparece em itálico com a grafia da versão latina de 1855 de Frederico Commandino, na Imprensa da Universidade de Coimbra disponibilizada "online" por Jaime Carvalho e Silva.

14.1.14

O compasso moderno a partir do postulado. A existência por construção.

Na geometria euclidiana, podemos usar a régua postulada (de arestas, sem marcas) e o compasso postulado (colapsante, se tirar qualquer dos pontas do papel em que desenha, não se mantémm a abertura entre as hastes) São instrumentos com grandes limitações? Não, sendo instrumentos com grandes restrições, permitem realizar muitas construções de geometria euclidiana compostas por construções primitivas com régua de arestas (sem marcas) e com compasso colapsante.
Modernamente, consideramos compassos modernos que retêm as aberturas e são, por isso, usados para transferir distâncias. Poderá o compasso colapsante fazer o mesmo que um compasso moderno?
O compasso moderno constrói uma circunferência dados dois pontos, mas, além disso, por transferir distâncias, constrói uma circunferência dados um ponto (para centro) e um segmento (para raio).
Mostremos que o compasso euclidiano também constrói, em várias etapas, uma circunferência dados 3 pontos O, A, B em que O é o centro e AB é o raio.
A isso mesmo damos resposta com a construção dinâmica que se segue:

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n.

São dados três pontos O, A, B.
Tomamos a circunferência de centro O a passar por A e a circunferência de centro A a passar por O que se intersetam em D e em E
Tomamos, em seguida as circunferências a passar por B centradas em D e em E que se intersetam em B e em F
A circunferência de centro O a passar por F é a circunferência de centro O e raio AB.

Fica assim produzida a existência de uma circunferência de que é dado o centro e uma distância para raio, usando o compasso colapsante (postulado III). Ou, que o conjunto dos pontos que estão a uma mesma dada distância de um ponto é uma circunferência.
Esta construção cria(?) assim o compasso moderno, composto por procedimentos possíveis por recurso ao compasso colapsante.

Notas: Uma definição dada não garante a existência do definido. As demonstrações de Euclides usam construções e, por isso, os seus teoremas são teoremas de existência de definidos por atributos precisos. Claro que há muitas definições a que podem não corresponder existências ou que não podemos construir com os instrumentos postulados.
Na construção desta entrada,
dados O e A, podemos determinar o ponto D tal que OD=OA=AD (vértices de um triângulo equiláero de lado OA) e isso é prova da existência de um triângulo equilátero.
Proposição I: Com o centro O e o intervalo OA se descreve (Post III) o círculo ODA; e, com o centro A e o intervalo AO se descreve o círculo ADO. Do ponto D, onde os círculos se cortam reciprocamente, tiram-se para os pontos O e A as retas DO e DA (Post. I). O triângulo OAD será equilátero: Como O é o centro do círculo ODA, OD=OA (Definição XV) e, do mesmo modo como A é o centro do círculo ADO, AD=AO. Assim, como "duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si"(Axioma 1), e OD e AD iguais a AO, OD=OA=AD . Seguiu-se a demonstração da Prop I dos Elementos de Euclides.