As construções geométricas com régua e compasso trabalham com dois tipos de figuras: as circunferências (compasso) e as retas (régua). Estas figuras ficam determinadas por dois pontos — a reta — e por três pontos — a circunferência. Nas últimas entradas, vimos que, só com compasso, podemos determinar o centro de uma circunferência dada por três pontos e também vimos como determinar, só com compasso, os pontos de intersecção de quaisquer duas dessas figuras definidas unicamente pelos seus pontos. Para isso, usámos a inversão relativamente a uma ou várias circunferências.
Assim demonstrámos que
Todas as construções de régua e compasso podem ser feitas só com recurso a compasso (ou só com circunferências)
Este resultado é conhecido como teorema de Mohr-Mascheroni.
26.6.13
20.6.13
Exercícios interativos: Soluções (VII)
Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:
Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:
Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.
- Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
- Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
- A' e B'
- a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
- C' e D'
- a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
- as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
- Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'
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