Teorema de Armin Saam (demonstração usando colagens de configurações de Ceva)

Na última entrada, numa triangulação composta por triângulos equipados com configuração de Ceva em que dois triângulos adjacentes partilham um lado e o respetivo ponto de bordo, fica esclarecido que as configurações de Ceva de todos os triângulos, à exceção de um deles, induz uma configuração de Ceva neste último.
O Teorema de Ceva é um teorema de incidência e, do mesmo modo, é um teorema de incidência o última resultado obtido para a triangulação da última entrada:
A existência de um ponto de Ceva P num triângulo ABC é equivalente à relação $$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} =1$$ em que AB.CP é X, BC.AP é Y e AC.BP é Z.
Na segunda entrada sobre o Teorema de Armin Saam consideram-se 5 retas $r_i$ distintas, intersetando-se num ponto $O$, e cinco pontos $P_i$, sendo $P_i \in r_i$. Faz-se corresponder a um ponto $A_1$ de $r_1$ um ponto $A_2$ por perspetividade centrada em $P_4$ de $r_4$ ou ${A_2}=A_1 P_4 . r_2$, e sucessivamente ${A_3}=A_2 P_5, {A_4}= A_3 P_1 . r_4, {A_5}=A_4 P_2 . r_5, {A_6}=A_5 P_3 - r_1$. Sabemos que pode acontecer que $A_6 = A_1$, mas se for $A_6 \neq A_1$, continuamos a usar as perspetividades para obter novos pontos ${A_7}= A_6 P_4.r_2, {A_8}=A_7 P_5.r_3, {A_9}=A_8 P_1.r_4, {A_{10}}=A_9 P_2.r_5 até {A_{11}}=A_{10} P_3.r_1$. E conjeturámos então que $A_{11} = A_1$, a partir da ilustração dinâmica.
Retomamos, em seguida, a ilustração dinâmica então feita e nela acrescentamos $A_1 A_7 , A_7 A_3 , A_3 A_9 , A_9 A_5 , A_5 A_1$ e a sequência dos pontos $r_4.A_1 A_7, r_5.A_7 A_3, r_1.A_3 A_9, r_2.A_9 A_5, r_3. A_5 A_1$ designados $B_i, i = 1,\ldots 5$, por essa ordem.
Realçamos os triângulos a vermelho na figura para vermos a triangulação composta por 5 triângulos equipados com configurações de Ceva, cujos pontos de Ceva são os designados {P_i}.

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E, como sabemos, a sucessão de configurações de Ceva desde $O A_1 A_7$ até $O A_9 A_5$ obriga uma configuração de Ceva para $O A_5 A_1$ em que uma das cevianas é exatamente $A_{10} A_1$ passando por $P_3$, centro da perspetividade na configuração de Amir Saam e ponto de Ceva da triangulação. Fica assim demonstrado que as duas voltas das perspetividades nas condições de Amir Saam levam de $A_1$ para $A_1$.

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Seguindo
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011

Colar triângulos equipados com configurações de Ceva e relação associada a uma triangulação fechada

Jurgen Richter-Gebert acha que as configurações de Ceva e Menelaus, sendo estruturas muito simples, podem ser a base para construir blocos para novos e mais complexos resultados. Para isso, procura-se uma forma de colar várias destas estruturas simples.
Comecemos com um triângulo $ABC$ (orientado de $A$ para $B$ para $C$, ou no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Uma configuração Ceva considera, para além dos vértices $A$, $B$ e $C$, os pontos dos bordos $X$ de $AB$, $Y$ de $BC$ e $Z$ de $CA$ e o ponto $P$ de Ceva comum às cevianas $AY$, $BZ$ e $CX$. A esta configuração de Ceva associa-se a relação, já demonstrada, $$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CZ}{ZA} = 1$$ Considerando dois triângulos equipados com a configuração Ceva, $ABC$ e $ACD$, que partilham um lado comum $AC$ e o ponto $Z$ desse lado.
Sabemos que para além da relação já associada à configuração de vértices $A, B, C$ há a considerar a relação de Ceva da configuração de vértices $A, C, D$. A saber: $$\frac{AZ}{ZC} \times \frac{CU}{UD} \times \frac{DV}{VA} = 1$$ O quociente $\frac{CZ}{ZA}$ que aparece na primeira relação é o inverso do quociente $\frac{AZ}{ZC}$ que aparece na segunda e, por isso, $$\frac{AX}{XB} \times \frac{BY}{YC} \times \frac{CU}{UD} \times \frac{DV}{VA} = 1$$.

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Consideremos agora uma triangulação em que todos os triângulos estão equipados com configurações de Ceva satisfazendo a propriedade adicional de que cada um dos pontos dos bordos interiores são partilhados por dois triângulos adjacentes.
Se os triângulos forem orientados de forma consistente, triângulos adjacentes usam um lado comum em sentidos opostos e, por isso, para cada quociente relacionado com um ponto de lado interior de um triângulo há o seu inverso na relação Ceva do triângulo adjacente.
É assim que ficamos com uma expressão associada à triangulação adotada que não depende dos lados interiores dos triângulos, mas só dos vértices e dos pontos dos bordos exteriores da triangulação. Para ilustrar apresentamos a construção dinâmica de uma triangulação com $n$ triângulos de vértices $A_i, \; i=0, 1, \ldots, n $, sendo $A_0$ o vértice comum a todos eles, pontos de Ceva $P_i, \; i=1, \ldots, n$, e pontos de bordo $X_i, \; i=1, \ldots, n$ em que cada $X_i \in A_0 A_i$ e $B_i, \; i=1, \ldots, n$ do bordo exterior (ou fronteiro da triangulação) tais que $B_i \in A_i A_{i+1}$ sendo $A_{n+1} = A_1$.
A ilustração é feita para $n=5$

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Para a triangulação assim obtida, temos a relação $$\frac{A_1 B_1}{B_1 A_2}\times\frac{A_2 B_2}{B_2 A_3}\times\frac{A_3 B_3}{B_3 A_4}\times\frac{A_4 B_4}{B_4 A_5}\times\frac{A_5 B_5}{B_5 A_1} =1$$ Para uma triangulação de $n$ triãngulos equipados com configurações Ceva nas condições já referidas (triângulos adjacentes partilhando um lado ($ A_0 A_i$) e o ponto de bordo ($X_i$) respetivo), temos a relação: $$\Pi_{i=1}^n \frac{A_i B_i}{B_i A_{i+1}} = 1 $$ sendo $A_{n+1} = A_1$

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Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011