Cónica tangente a duas retas e pontos de tangência

Dualizando a definição de Steiner, obtivemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Qualquer projetividade que relacione X (pontual de base p) com Y (pontual de base q) tem um eixo. Se tomarmos dois pontos fixos - A sobre p como posição particular de X e B sobre q como a posição particular correspondente de Y - XB.YA=Z é um ponto do eixo (da projetividade que relaciona X com Y) que se mantém independente das variações de X.
Na nossa construção, pode ver que quando X=A, Y=B. O lugar geométrico dos pontos Z quando X varia sobre p é a reta d. Se tomarmos d como eixo dessa projetividade, e designarmos d.p=P e d.q=Q, quando X=P, Y=D=p.q, Z=P; quando X=D=p.q, Y=Q=d.q, Z=Q. O que significa que os pontos P=d.p e Q=d.q são os pontos de tangência da cónica envolvente das retas XY com as p e q.
A projetividade em causa pode ser sempre descrita como um produto de duas perspetividades. Atendendo à construção em que G=d.AB, vimos que a perspetividade de centro em B transforma a pontual APDX sobre p na pontual GPQZ sobre d e a perpspetividade de centro em A transforma esta pontual GPQZ sobre d em BDQY sobre q.
Na polaridade associada à cónica envolvente das retas XY, P é polo de p, Q é polo de q, D=p.q é polo de d=PQ.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga animação:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Podemos olhar para a figura da construção de outro modo,
como se tivessemos um triângulo variável XYZ
com X a mover-se sobre uma reta p, Y a mover-se sobre uma reta q e Z a mover-se sobre uma reta d,
o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p.
E, nestas condições, o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica.

Steiner: definição dual

Dualizando a definição de Steiner, obtemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Se a projetividade faz corresponder PDX a DQY, sendo D=p.q, P e Q são os pontos de contacto da cónica com p e q.
A construção, que se apresenta a seguir, ilustra uma projetividade entre as pontuais de base p e q: para cada conjunto de posições X₁, X₂, X₃ de X em p e as correspondentes posições Y₁, Y₂, Y₃ de Y em q, há uma única projetividade X₁ X₂ X₃X → Y₁Y₂Y₃Y.
A envolvente de XY é uma cónica quando quaisquer 3 das retas X_iY_i, p, q não forem concorrentes (não incidirem num mesmo ponto).
Verificará que quando X coincidir com D, XY coincide com q e Y coindirá com o ponto de tangência Q. E se for Y=D, XY=p e X=P.
Para a polaridade associada à cónica definida pelas cinco retas, PQ=d é a polar de D=p.q, p é polar de P, q é polar de Q,

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). da antiga animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Reciprocamente
Se 5 retas nas condições (X₁Y₁, X₂Y₂,X₃Y₃, p, q em que X_i é ponto de p e Y_i é ponto de q e nenhum terno delas ser concorrente) são tangentes a uma cónica, então para qualquer outra tangente XY
X₁X₂X₃X e Y₁Y₂Y₃Y são projetivos