Perspetividades e projetividades preservam as relações harmónicas

Na figura dinâmica abaixo, apresentam-se um feixe abcf de centro S, cortado por duas retas que não passam por S, sendo
A→a→A', B→b→B' e C→c→C', F→f→F'
ABCF→_Sabcf→_SA'B'C'F'
que é o mesmo que dizer ABCF e A'B'C'F' são S-perspetivos.
Por construção, os pontos ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF).
Pelos resultados da página anterior sabemos que se ABCF verificam a relação harmónica H(AB,CF) então abcf é um feixe harmónico. E se abcf é um feixe harmónico então a sua secção A'B'C'F' por uma reta é um conjunto harmónico de pontos. Resumindo
Se ABCF e A'B'C'F' são perspetivos e H(AB,CF) então H(A'B',C'F')
que é o mesmo que dizer que as perspetividades preservam a relação harmónica. Como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que a projetividade preserva a relação harmónica. [Por exemplo, von Staudt definia projetividade como correspondência biunívoca que transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos]. E, como já vimos em entrada anterior, quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados aos pares por uma projetividade, por exemplo,
ABCF e FCBA são projetivos, como são projetivos ABCF e CFBA. ABCF e CFAB, ABCF e FCAB
E, assim, como o projetivo de um harmónico, harmónico é, podemos concluir que:
se H(AB,CF), então H(FC,BA) e também H(CF,BA), H(CF,AB), H(FC,AB).

Projetividade entre pontuais e feixes harmónicos.

Retomamos a figura da última entrada. Na construção abaixo, o feixe abcf de centro em S=a.b.c.f respeitando uma relação harmónica. Nesta construção, cada terno a,b,c determina univocamente a reta f. A, B, C, F constituem uma secção do feixe harmónico a,b,c,f, pela reta q, ao mesmo tempo que são os pontos da secção pela reta q do quadrilátero de vértices P,Q,R,S. A reta q passa por dois dos seus pontos diagonais A e B, sendo que C e F são pontos de interseção de q com os lados RS e PQ, respetivamente.
Este processo garante que o feixe harmónico abcf pode ser obtido a partir de qualquer conjunto harmónico de pontos e um ponto S em que não incida a reta do conjunto harmónica. Assim, fica estabelecido que
Um conjunto harmónico de pontos é projetivo com um feixe harmónico de retas de centro fora da base do conjunto harmónica
e, dualmente,
Qualquer secção de um feixe harmónico por uma reta que não passe pelo seu centro é um conjunto harmónico de pontos.