Construção da divisão em média e extrema razão

Dado um segmento AB, vamos referir uma das construções que nos permitem obter o ponto M que o divide em extrema e média razão:

• tracemos a perpendicular a AB em B;


• sobre ela tomemos o segmento CB de comprimento AB/2;


• com centro em C e raio CB, tracemos a circunferência que intersecta a recta AC em D;


• com centro em A e raio AD, tracemos a circunferência que intersecta o segmento AB em M.

Por comodidade, tomemos AB = 1; designemos por x o comprimento de AM. Como AB/AM = AM/MB, vem 1/x = x/(1-x) ou x² + x –1 = 0 ; a raiz positiva desta equação é (√ 5 – 1)/2. Logo o valor da razão AM/MB = (√5 + 1)/2 ≈ 1.61803.

O quociente entre a razão extrema e a razão média foi chamada “razão áurea” ; o seu valor, 1.618…, é o “número de ouro”, designado por Φ em homenagem a Fídias que o utilizou para obter as harmoniosas proporções do Parténon.

Média e extrema razão

“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão.” (KEPLER)

Supõe-se que o conceito de média e extrema razão se deve à escola pitagórica como resultado do seu afã de descobrir relações numéricas que exprimissem as harmonias da natureza. Foi através dos Elementos de Euclides que o conceito chegou aos nossos dias.
Dado o segmento AB, pretende-se dividi-lo em “duas partes desiguais tal que a parte menor e a maior estejam na mesma razão que entre a maior e o todo."
Foi aproximadamente nestes termos que Euclides, há 2300 anos, pôs o problema no Livro VI dos seus Elementos.

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Por outras palavras: para dividir um segmento na razão média e extrema, a razão existente entre o comprimento do segmento inteiro e o de sua maior divisão (razão extrema) é igual à razão entre o comprimento desta maior divisão e o da menor (razão média)
Dado um segmento AB, trata-se de determinar um ponto M do segmento tal que o segmento AM seja o meio proporcional entre o segmento AB e o segmento MB. Ou seja, pretende-se determinar o ponto M para o qual são iguais as razões AB/AM e AM/MB.

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Ao fundo da janela de visualização da construção que apresentamos, temos um cursor n=0 com n variável entre 0 e 3 que permitem separar os passos do nosso trabalho
|n=0|:  Apresenta-se inicialmente um segmento AB


O segmento AB tem comprimento constante; para facilitar, tomemos AB = 1.

|n=1|:  Determinámos um ponto M de AB (pelo método já apresentado antes)
|n=2|:  Verifica-se que existe um ponto M que divide AB em duas partes AM e MB tais que
AB/AM=AM/MB ou AM²=ABxMB.
Sendo AB=1, o comprimento de AM varia entre 0 e 1; logo a razão AB/AM varia de +∞ a 1, enquanto a razão AM/MB varia de 0 a +infinito.
|n=3|:  Há uma e uma só posição de M para a qual as duas razões são iguais: AB/AM = AM/MB:
A figura neste passo, apresenta um ponto N de AB variável. Deslocar esse ponto N do segmento AB permite verificar que existe de facto apenas uma posição em que se igualam as duas razões e é quando N coincide com M.