Teorema:
As medianas de um triângulo ABC são concorrentes
[AdAM]
Chamamos a ao lado BC, b a AC e c a AB. Chamamos Ma ao ponto médio de a (BMa=MaC), Mb ao ponto médio de b e Mc ao ponto médio de c. Ao segmento que tem extremos num vértice e no ponto médio do seu lado oposto chamamos mediana do triângulo, As medianas do triângulo ABC são: AMa, BMb e CMc. Lembramos ainda que MaMb é paralelo a AB, MbMc paralelo a BC e MaMc paralelo a AC (a homotetia de centro C e razão 2 transforma MaMb em AB e, por isso, não só MaMb é paralelo a AB como AB=2 MaMb, ...).
Demonstração:
As medianas AMa e BMb intersectam-se num ponto a que chamamos G. Consideremos o triângulo AGB e os pontos D e E médios de AG e BG. Como já vimos, DE é paralelo a AB e paralelo a MaMb e AB=2DE=2MaMb. MaMb e DE são paralelos e iguais, logo MaMbED é um paralelogramo, cujas diagonais se cortam ao meio, em G ponto médio de EMb. Construindo, de modo análogo, um paralelolgramo relativo ás medianas BMb e CMc. que tem diagonais EMb e FMc a intersectar-se a meio, em G, ponto médio de EMb. Fica assim provado que a mediana CMc passa por G.
Teorema:
As alturas de um triângulo são concorrentes.
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[AdAM]
A demonstração de um determinado resultado é usada para outras demonstrações. Por exemplo, para demonstrar que as três alturas de um triângulo são concorrentes, basta verificar que elas são mediatrizes de outro (e já sabemos que as mediatrizes de um triângulo qualquer são concorrentes. No ensino básico, é muito importante que os jovens usem intencionalmente como parte de argumentos demonstrativos, demonstrações já feitas. Demonstração:
Por cada um dos vértices do triângulo ABC façamos passar paralela ao lado que se lhe opõe; por A passamos uma paralea a BC, etc. Ficamos assim com o triângulo DEF e as rectas que contêm as alturas de ABC são as mediatrizes dos lados de DEF. Para exemplo, vejamos que a altura relativa ao vértice C é a mediatriz de DE. Como sabemos (desde a igualdade de triângulos), os lados opostos do paralelogramo ABDC são iguais, sendo AB=CD. E do mesmo modo acontece com o paralelogramo ABCE, sendo AB=CE. CE e CD são ambos iguais a um terceiro AB e logo CD=CE, ou seja C é o ponto médio de DE. E a altura CHc é perpendicular a AB e a todas as suas paralelas.CHc é perpendicular a DE no seu ponto médio -C- é a mediatriz de DE. ...
