Consideremos uma involução definida sobre uma recta r por dois pares de elementos conjugados, (A,A') e (B,B'); vejamos como proceder para obter o centro O da involução:
Tracemos uma circunferência qualquer passando por A e A'; outra passando por B e B', de modo que se intersectem. Tracemos o eixo radical das duas circunferências. A intersecção do eixo radical com a recta r determina o ponto O. Basta recordar que o eixo radical de duas circunferências é o lugar geométrico dos pontos que têm igual potência em relação às duas circunferências; logo |OA|.|OA'| = |OB|.|OB'|
Como determinar um novo par? Claro que, qualquer circunferência que faça parte do feixe definido por este eixo radical, define novo par de elementos conjugados.
[A.A.F.]
Se mantiver fixos os pontos A, A', B e B', deslocando os centros das circunferências (enquanto se intersectem), verá que o ponto O se mantém invariante. Claro que se deslocar os pontos A, A', B e B' verificará que o ponto O muda (é centro de uma nova involução).
Dado um par de pontos em involução, o centro e um dos elementos de outro par, determinar a sua imagem
São dados o centro O, o par (A,A') e o ponto B. Pede-se o ponto B' conjugado de B.
Tracemos uma circunferência qualquer que contenha A e A'. Por O façamos passar uma recta que intersecte a circunferência e que vai ser o eixo radical de um feixe de circunferências. A circunferência que passa por B, K, L determina B´sobre r.
