Cónica inscrita num pentágono

Na anterior entrada, vimos que
Se p, q, d são 3 retas que não incidem num mesmo ponto e XYZ for um triângulo variável
- com X a mover-se sobre p, Y a mover-se sobre q e Z a mover-se sobre d, e
- o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p
então o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica tangente a p e q nos pontos P=p.d e Q=q.d.

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A construção, que se segue, ilustra um resultado mais geral:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Nas condições da figura, a perspetividade centrada em B seguida da perspetividade centrada em A X → ^B → Z → ^A → Y é uma projetividade relacionando X com Y, que não é uma perspetividade, já que nem r nem AB passam por D=p.q.
Assim as retas XY são tangentes uma cónica que também admite como tangentes p e q.
Podemos verificar o que acontece para algumas posições dos vértices e correspondentes posições de XY:

1. quando Z=E=p.r, X=E, AY=AE e também XY=AE, que significa que AE é tangente à cónica
2. quando Z=C, Y=C, BX=BC e também XY=BC tangente à cónica
3. quando Z=G, X=I, Y=J e também XY=AB tangente à cónica

Podemos assim olhar para o essencial da nossa construção de uma cónica tangente aos lados de um pentágono ABCDE.
Na nossa construção, partimos de p=DE, q=CD, r=CE, AB, em que r=CE é a diagonal do pentágono ABCDE. Para a determinação do triângulo variável XYZ, partimos de Z livre sobre a diagonal r, X=p.BZ, Y=q.AZ, para uma projetividade que não é perpsetividade entre as pontuais X (sobre p) e Y (sobre q).
E, conforme a definição de Steiner, as retas XY (passando por correspondentes projetivos) geram a cónica inscrita no pentágono.
Também podemos olhar para a nossa construção para ver um hexágono ABCYXE de diagonais AY, BX e CE (a passar por Z) cujos lados são tangentes à cónica.

Cónica tangente a duas retas e pontos de tangência

Dualizando a definição de Steiner, obtivemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Qualquer projetividade que relacione X (pontual de base p) com Y (pontual de base q) tem um eixo. Se tomarmos dois pontos fixos - A sobre p como posição particular de X e B sobre q como a posição particular correspondente de Y - XB.YA=Z é um ponto do eixo (da projetividade que relaciona X com Y) que se mantém independente das variações de X.
Na nossa construção, pode ver que quando X=A, Y=B. O lugar geométrico dos pontos Z quando X varia sobre p é a reta d. Se tomarmos d como eixo dessa projetividade, e designarmos d.p=P e d.q=Q, quando X=P, Y=D=p.q, Z=P; quando X=D=p.q, Y=Q=d.q, Z=Q. O que significa que os pontos P=d.p e Q=d.q são os pontos de tangência da cónica envolvente das retas XY com as p e q.
A projetividade em causa pode ser sempre descrita como um produto de duas perspetividades. Atendendo à construção em que G=d.AB, vimos que a perspetividade de centro em B transforma a pontual APDX sobre p na pontual GPQZ sobre d e a perpspetividade de centro em A transforma esta pontual GPQZ sobre d em BDQY sobre q.
Na polaridade associada à cónica envolvente das retas XY, P é polo de p, Q é polo de q, D=p.q é polo de d=PQ.

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Podemos olhar para a figura da construção de outro modo,
como se tivessemos um triângulo variável XYZ
com X a mover-se sobre uma reta p, Y a mover-se sobre uma reta q e Z a mover-se sobre uma reta d,
o lado XZ a passar por um ponto fixo B de q e o lado YZ a passar por um ponto fixo A de p.
E, nestas condições, o terceiro lado do triângulo envolve uma e uma só cónica.

Steiner: definição dual

Dualizando a definição de Steiner, obtemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Se a projetividade faz corresponder PDX a DQY, sendo D=p.q, P e Q são os pontos de contacto da cónica com p e q.
A construção, que se apresenta a seguir, ilustra uma projetividade entre as pontuais de base p e q: para cada conjunto de posições X₁, X₂, X₃ de X em p e as correspondentes posições Y₁, Y₂, Y₃ de Y em q, há uma única projetividade X₁ X₂ X₃X → Y₁Y₂Y₃Y.
A envolvente de XY é uma cónica quando quaisquer 3 das retas X_iY_i, p, q não forem concorrentes (não incidirem num mesmo ponto).
Verificará que quando X coincidir com D, XY coincide com q e Y coindirá com o ponto de tangência Q. E se for Y=D, XY=p e X=P.
Para a polaridade associada à cónica definida pelas cinco retas, PQ=d é a polar de D=p.q, p é polar de P, q é polar de Q,

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Reciprocamente
Se 5 retas nas condições (X₁Y₁, X₂Y₂,X₃Y₃, p, q em que X_i é ponto de p e Y_i é ponto de q e nenhum terno delas ser concorrente) são tangentes a uma cónica, então para qualquer outra tangente XY
X₁X₂X₃X e Y₁Y₂Y₃Y são projetivos

Steiner: Cónica por 5 pontos

Sejam 5 pontos quaisquer P, Q, R, P' e Q' dos quais não há 3 que sejam colineares e uma reta variável x passando por P.
Definem-se
N=PQ'.P'Q, M=RP'.x, L=Q'R.MN e R'=QL.x
Procura-se o lugar geométrico dos pontos R'.

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A construção, que se apresenta a seguir, sugere que, quando x roda em torno de P, R' descreve uma cónica.

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Se as retas x formam um feixe centrado em P, as retas y=LQ formam um outro feixe centrado em Q. Para cada x, há um ponto M=x.RP' a que corresponde um só ponto L sobre MN (N-persp) que por sua vez determina uma só reta y=LQ
Quando x=PQ (sendo uma reta do feixe centrado em P) corresponde-lhe uma reta y≠PQ (do feixe centrado em Q) . Do mesmo modo, quando y=PQ (reta do feixe centrado em Q) corresponde-lhe uma reta x≠PQ (do feixe centrado em P. Por isso, os dois feixes de retas (x e y) são projetivos não perspetivos. Se fossem perspetivos, à reta definida por P e Q (centros dos feixes) teria como imagem ela mesma.
Assim, pela definição de Steiner, x.y=R' está sobre a cónica que passa pelos pontos P, Q, R, P' e Q'.

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Esta construção sugere fortemente

1. que, para definir uma cónica bastam 5 pontos entre os quais não haja 3 a incidir numa reta comum, e, também,
2. que um método para determinar a tangente num dado ponto P de uma cónica pode consistir em determinar a reta de um feixe centrado em P que seja a correspondente projetiva a uma secante à cónica, qualquer, tirada por P, tomada como reta de um feixe centrado na intersecção da secante com a cónica

Steiner:Cónica como lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas

Na construção desta entrada, procuramos o lugar geométrico dos polos trilineares de um feixe de retas de centro O distinto de qualquer dos vértices de um triângulo ABC (em relação ao qual se estabelece a polaridade trilinear). Sobre o polo trilinear, pode consultar as entradas

1. Polar trilinear, em que se faz referência específica às relações harmónicas estabelecidas na determinação do triângulo ceviano de ABC da relação entre polo e polar trilinear relativamente a ABC e da homologia que relaciona os dois triângulos
2. Da polar ao polo em que se apresenta uma construção, passo a passo, em resposta a pergunta de um leitor anónimo.

Relativamente ao triângulo ABC, a determinação da polo trilinear X de uma qualquer das retas x a passar por um ponto O é feita assim:

• Determinam-se os pontos de intersecção da recta x com os lados do triângulo ABC - X'_a=BC.x, X'_b=AC.x e X'_c=AB.x.
• O ponto X_c determina-se como conjugado harmónico de X'_c relativamente aos pontos A e B. O ponto x.CX_c será conjugado harmónico de X'_c relativamente X'_a e X'_b.
• Determinado X_c, imediatamente se determinam X_a e X_b tirando as rectas X'_a X_c e X'_b X_c que intersectam os lados AC em X_b e BC em X_a respetivamente. A reta X'_cX_a passa por X_b e, por isso X_aX_bX_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar x nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.
• As cevianas AX_a, BX_b e CX_c intersetam-se no pólo X, correspondente à polar trilinear x.

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A cada reta x, variável, do feixe centrado em O, corresponde AX_a, por um lado, e BX_b por outro, afinal dois feixes projetivos mas não perspetivos nas condições da definição de Steiner para uma cónica. O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas correspondentes dos dois feixes projetivos não perspetivos X=AX_a.BX_b é uma cónica que passa por A, B e C.
Fazendo variar a reta x, fará variar as retas AX_a e BX_b, em consequência, variar X. Pode ver quais são as tangentes em A, B ou C (distintas sempre de AB, BC, CA)
Pode também deslocar O e ver o que acontece quando O está no exterior ou interior de ABC, sobre algum dos lados, sobre algum dos vértices.