[A.A.M.]
5.8.12
Invariância da razão cruzada por projetividade
A construção que se segue pretende demonstrar que a razão cruzada de 4 pontos A, B, C, D de r se mantém invariante por projetividade
[A.A.M.]
[A.A.M.]
3.8.12
Invariância da razão cruzada por perspetividade
A construção da entrada anterior também sugere (ou decorre mesmo) da verificação da invariância da razão quadrada por uma perspetividade de centro O.
A construção que se apresenta ilustra isso mesmo. A razão quadrada dos quatro pontos A,B,C,D sobre r é a mesma razão para os quatro pontos A', B', C', D', sobre s, obtidos como transformados de A, B, C, D pela perspetividade de centro O.
Pode deslocar os pontos O, A, B, C, D e também r e s para ver(ificar) esse resultado.
[A.A.M.]
A construção que se apresenta ilustra isso mesmo. A razão quadrada dos quatro pontos A,B,C,D sobre r é a mesma razão para os quatro pontos A', B', C', D', sobre s, obtidos como transformados de A, B, C, D pela perspetividade de centro O.
Pode deslocar os pontos O, A, B, C, D e também r e s para ver(ificar) esse resultado.
[A.A.M.]
Razão cruzada de um feixe de 4 retas
A "razão cruzada" (ou razão de razões de diferenças) de quatro pontos incidentes numa mesma reta que temos vindo a estabelecer mantém-se por projetividade. É, por isso, muito importante em Geometria Projetiva e há autores que usam a "razão cruzada" para definir projetividade como a transformação geométrica pela qual a razão cruzada se mantém invariante. Não é o caso nas notas de estudo que temos vindo a publicar.
Não vamos provar essa afirmação. Limitar-nos-emos a ilustrá-la e a pedir que a aceitem a partir das ilustrações que permitem conjeturar tal resultado.
Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo ponto.
A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma reta r. Poderá deslocar a reta r e veriifcar que a razão cruzada dos quadros pontos da secção (ou pontual) do feixe por r não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar esta razão invariante como caraterística do feixe.
Na nossa construção a reta r é determinada por dois pontos livres E e F, que lhe permitem verificar que a razão cruzada não depende da reta r
[A.A.M.]
Não vamos provar essa afirmação. Limitar-nos-emos a ilustrá-la e a pedir que a aceitem a partir das ilustrações que permitem conjeturar tal resultado.
Como é habitual em Geometria Projetiva, verificamos a dualidade em cada conceito e, por isso, vamos ver(ificar) que há uma razão cruzada de quatro retas a incidir num mesmo ponto.
A construção seguinte apresenta quatro retas incidentes em O (um feixe) cortadas por uma reta r. Poderá deslocar a reta r e veriifcar que a razão cruzada dos quadros pontos da secção (ou pontual) do feixe por r não depende da reta r. Podemos, por isso, assimilar esta razão invariante como caraterística do feixe.
Na nossa construção a reta r é determinada por dois pontos livres E e F, que lhe permitem verificar que a razão cruzada não depende da reta r
[A.A.M.]
24.7.12
Razões de diferenças. Razão cruzada.
Nas últimas entradas, associámos pontos de uma reta a números (suas abcissas) e estabelecemos construções (relações estabelecidas entre pontos e retas) que permitiram determinar pontos cujas abcissas eram resultados de operações sobre números, abcissas de pontos dados.
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=xA e a B a abcissa b=xB, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for xB-xA=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=xB -xA= b-a=-(a-b)=-(xA-xB)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.
[A.A.M.]
Para estas correspondências entre pontos de uma reta e números socorremo-nos sempre de alguns pontos particulares, depois de termos equipado a reta com uma dada orientação (sentido na reta).
De forma simples, se fizermos corresponder ao ponto A a abcissa a=xA e a B a abcissa b=xB, a orientação escolhida será de A para B se a distância euclideana em sentido direto entre A e B for xB-xA=|AB|. De resto escrevemos BA=-AB já que quando tomamos o sentido de A para B sobre a reta AB, AB=xB -xA= b-a=-(a-b)=-(xA-xB)=-BA. (segmentos orientados...)
A construção que se segue pretende ilustrar as considerações que antes fizemos, para além de introduzir a "razão de razões" ou "razão cruzada" que goza de propriedades interessantes intrínsecas e vinculando os seus valores a relações projetivas que se estabeleçam entre pontos e entre retas ou entre pontos e retas.
Tomam-se quatro pontos A, B, C, D sobre uma reta e define-se a razão das razões entre diferenças de abcissas. Pode deslocar os pontos para ver o que acontece às diferenças e às razões.
[A.A.M.]
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