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Temos vindo a apresentar construções em que se determinam pontos cujas abcissas são resultados de operações sobre as abcissas de outros pontos dados. Faltava a determinação do ponto de abcissa x-y sobre a reta de que são dados os pontos de abcissas 0, x e y. Aqui ficam as construções.
Dados os pontos 0, x, y determinamos o ponto de abcissa x-y seguindo um procedimento apoiado na construção da soma, já que y+x-y=x.
Por um ponto exerior P à reta xy tiramos uma paralela a xy e, sobre esta tomamos um segundo ponto R. Pelo ponto Q_y=0P.yR tiramos uma paralela a xy e determinamos sobre ela o ponto Q_x de xR. O ponto de abcissa x-y será PQ_x.xy
Pode deslocar os pontos x ou y verificando o que acontece quando x=y, x=0, y=0, x à esquerda de y, y=x-y, etc
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.]

Dividir x por y

Na anterior entrada tratámos da determinação dos pontos de abcissas 1/n (n natural) conhecidos que fossem os pontos 0 e 1.
Nesta entrada, nas construções apresentadas (euclideana e projetiva correspondente) apresenta-se o processo de determinação do ponto de abcissa x/y conhecidos os pontos 0, 1, x, y.
Dados 0,1, x e y colineares, começa-se por tomar um ponto P qualquer fora da reta 01. Por P tira-se uma reta paralela a 01. E sobre ela, toma-se o ponto R qualquer. D=0P.1R. Para determinar o ponto x/y, toma-se yR e M=yM.0R. Em seguida, toma-se xM e S=xM.PR. Finalmente SD e o ponto x/y=SD.xy
Do feixe centrado em D cortado pelas retas paralelas 01 e PR, tira-se que 0(x/y)/PS=01/PR e, do feixe centrado em M cortado pelas mesmas paralelas tira-se que 0y/PR=0x/PS. Da primeira e segunda igualdades conclui-se que PS/PR=0(x/y)=0x/0y
Pode deslocar os pontos x e y e ver o que acontece quando x=0, x=y, x=1, y=0, y=x/y, etc

[A.A.M.]
Projetivamente, as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.

[A.A.M.]

Dividir x por n (n natural)

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Na entrada anterior, apresentou~se o processo para determinar o ponto de abcissa xy, conhecidos os pontos de abcissa 0, x e y. Esse processo é aliás em tudo análogo ao processo que permitia determinar pontos de abcissa inteira, conhecidos os pontos de abcissas 0 e 1.
O processo para determinar um ponto de abcissa 1/n (ou x/n) com n natural, conhecidos os pontos de abcissas 0, 1 parte sempre da determinação dos pontos de abcissa 2, 3, 4, ..., n (ou 2x, 3x, ..., nx)
. No caso da construção que segue como exemplo, faz-se a divisão por 3, determinando os pontos de abcissas 1/3 e 2/3. Essa construção começa com a determinação dos pontos 2 e 3, dados os pontos 0 e 1, utilizando 0, 1, P, R, 1'=0P.1R e as paralelas a 01, tiradas por P (PR) e por 1'.
Agora tomam-se os pontos 1', 2''=2R.0P, 3''=3R.0P, Q=PR.13''. E, ficam assim determinados os pontos de abcissas 1/3 e 2/3: 1/3=Q1'.01, 2/3=Q2''.01.

[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞.
[A.A.M.] Projetivamente as retas paralelas intersetam-se num ponto Z_∞. [A.A.M.]

Adição

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Os métodos antes apresentados, para determinar pontos a que correspondem abcissas inteiras sobre uma dada reta, permitem também determinar pontos correspondentes a somas de abcissas de pontos dados.
Na construção que se segue, tomamos um ponto 0 e dois pontos que designamos por X e Y (x, y: abcissas) sobre uma reta. Tomamos um ponto P não incidente em 0X e por ele tiramos uma paralela a 0X. Sobre esta, tomamos um ponto R. Por Q_x = OP.XR tiramos uma paralela a 0X e a interseção, Q_y, desta com YP.
O ponto correspondente a x+y estará sobre RQ_y. Mostramos uma confirmação(?) da correção desta determinação com valores das distâncias OX, OYe O(X+Y).
Pode deslocar os pontos X, Y, P e R para confirmar que OS=OX+OY, quaisquer que sejam as posições de X e Y.
[A.A.M.]
Projetivamente as retas paralelas intersetam-se todos no ponto Z_∞.



[A.A.M.]