Pontual de abcissas inteiras.

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Na entrada anterior, vimos como se podem determinar pontos correspondentes a um número inteiro, dados que fossem dois pontos a que se atribuissem as abcissas 0 e 1, usando um quadrilátero completo e a reta 01 passando pelas interseções dos lados opostos sem passar por qualquer dos seus vértices.Os pontos 0 e 2 são separados harmonicamente pelos ponto 1 e ∞ : (00)(22)(1∞) é um quaterno harmónico em que 1 e ∞ são conjugados.
A construção que se segue, ilustra bem um processo de von Staudt para obter pontos correspondentes aos números inteiros, conhecidos que sejam os pontos 0 e 1.
Toma-se um ponto P fora da reta 01 e por ele uma paralela a 01. Sobre a reta 0P tome-se um ponto Q qualquer e, por ele, passe-se uma paralela a 01. A reta 1Q interseta a paralela tirada por P em R.Em seguida tome-se a reta 1P e a sua interseção Q₁ com a reta paralela a 01 tirada por Q. O ponto 2 será a interseção de RQ₁ com 01.
O processo repete-se.
Em Geometria Projetiva as retas paralelas passam por um ponto Z_∞, marcado na figura que se segue.

Representações de (AA)(BB)(CH∞) e notas a propósito

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Na construção que apresentamos abaixo, temos duas representações diferentes de dois quadriláteros completos de vértices PQRS cortados por uma reta h=AB em que A=QR.PS e B=PR.QS
C= RS.h e PQ paralela a AB ou PQ.h=H_∞.

Na figura da esquerda temos um feixe de retas concorrentes em R cortadas por duas paralelas e em que S é o ponto de encontro das diagonais do trapézio AQPB e, por isso, RS passa pelos pontos médios de PQ e AB.
Tem-se assim um processo para determinar o ponto médio de AB. É tambem método para determinar segmentos geometricamente iguais.

Na figura da direita, temos uma representação projetivamente adequada da mesma situação em que o ponto do infinito H_∞ está à vista sobre h e as retas AB e PQ nele se intersetam. E isso não significa mais do que estabelecer uma relação harmónica H(AB,CH_∞)
Podemos dizer que a construção da direita é a mesma que está à esquerda e isso quer dizer que para um quadrilátero completo nas condições da figura se AB//PQ então C é o ponto médio de AB ou C é o conjugado harmónico do ponto do infinito H_∞.
[Por analogia ao escrito anteriormente para segmentos geometricamente iguais, podemos dizer que este é também um método para determinar sobre uma reta segmentos projetivamente iguais].
Para A, B e H_∞=PQ.AB, C é único. Se C é o ponto médio de AB, PQ e AB intersetam-se em ponto do infinito.
Ou ainda se, na reta h, a A atribuirmos, por exemplo, uma abcissa 0 e a C a abcissa 1,então B terá uma abcissa 2,...

Representações projetivamente corretas (paralelismo)

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Na geometria do que se vê realmente (geometria projetiva), um dos aspetos interessantes está na representação (projetivamente correta) das figuras. Como já abordámos antes, tomando o que vemos quando olhamos os carris do comboio, o paralelismo de retas como ausência de um ponto comum é antes a interseção das retas que à vista se intersetam num ponto, ainda que esse ponto se afaste à medida que avançamos para ele (ponto no infinito ou ponto do infinito comum a um conjunto de retas paralelas ou com a mesma direção). Dadas duas retas quaisquer, elas encontram-se sempre num ponto.
No nosso estudo de geometria projetiva construímos representações interativas usando algumas operações e relações tais como a incidência, ligar dois pontos (para uma reta), intersetar retas (para um ponto). "As restantes operações geométricas (tais como medir distâncias, calcular ângulos, criar perpendiculares) requerem um tratamento especial para serem tratadas se o quisermos fazer projetivamente". Richter-Gebert no seu livro "Perspectives on Projective Geometry", recentemente editado pela Springer, escreve isso, mas escreve também que é possível e fácil modelar a operação de paralelismo da geometria euclideana no quadro da geometria projetiva: desenhar uma paralela que passa por um ponto. Vamos dar passos nesse sentido.
Na figura que se segue, à esquerda temos um paralelogramo ABCD tal como nos habituamos a desenhá-lo em estudos da geometria euclideana. Para além dos vértices e dos lados, ainda desenhámos as diagonais e medianas do paralelogramo. Nesta figura da esquerda, as retas AB, FH, CD são paralelas. Dizemos que se intersetam num ponto do infinito, seja AB.CD.FH=P_∞. Do mesmo modo, AD, EG e BC se dizem paralelas ou que se encontram num ponto do infinito, seja AD.BC.EG=Q_∞. Claro que por dois pontos passa uma e uma só reta. A uma reta que passa por pontos do infinito chamamos reta do infinito, no caso r_∞ =P_∞Q_∞.

[A.A.M.] Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M=AC.BD, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito r_∞=P_∞Q_∞. As restantes retas são Na figura da direita na construção, de acordo com o que podemos ver (carris do comboio), a reta do inifinito r_∞ é visível como qualquer outra reta euclideana, coerente com o que vimos quando olhamos paralelas
Tomemos quaisquer pontos ABCD para vértices, considerados por uma certa ordem cíclica. AC e BD são as diagonais do quadrângulo que se intersetam no ponto M, a que chamaríamos e chamamos centro. Como os lados opostos AB e CD são paralelos AB.CD=P_∞ e do mesmo modo, AD e BC se intersetam em Q_∞. Para quatro pontos, vértices de um quadrângulo que consideramos um paralelogramo, obtemos assim uma vísivel reta do infinito MP_∞ e MQ_∞. E os pontos serão E= AB.MQ_∞, F=BC.MP_∞, G =CD.MQ_∞, H= AD.MP_∞.
Deste modo, obtivemos uma representação perspetivamente correta do paralelogramo com todos os pontos e retas que associámos....


Da memória:

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Cinderella e (ou mesmo em)
Jurgen Rishter-Gebert;Perspectives on Projective Geometry, A guided tour trough real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin:2012

Notas sobre involução - conjunto quadrangular

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Tomemos o conjunto dos pontos de intersecção dos lados de um quadrângulo completo por uma reta qualquer que não passe pelos seus vértices.
Na figura, a reta r interseta os lados do quadrângulo PQRS nos pontos A, B, C, D, E, F:
QR e PS são lados opostos que intersetam r em QR.r=D e PS.r=A
PR e QS são lados opostos que intersetam r em PR.r=E e QS.r=B
QP e RS são lados opostos que intersetam r em RS.r=C e PQ.r=F
A (AD)(BE)(CF) chamámos conjunto quadrangular que é equivalente a afirmar que a projetividade ABC→DEF é uma involução ou que ABCDEF→DEFABC


[A.A.M]
Os três pares de lados opostos do quadrângulo completo cortam qualquer reta que não passe pelos vértices em três pares de uma involução. E reciprocamente, quaisquer três pontos colineares e os seus correspondentes por involução formam um conjunto quadrangular
Daqui se retira que a construção de F, sendo dados A, B, C, D, E, pode ser vista como a determinação da imagem de E pela involução (AD)(BE).

Notas sobre a involução projetiva (unidimensional)

Há várias referências à palavra involução e definição de involução (formulada em termos dos conceitos não projetivos de distância e multiplicação aritmética) como uma relação entre pares de pontos de uma reta cujas distâncias a um ponto fixo têm produto constante (Desargues). Para exemplo, clique em Involução.
De um modo geral, designamos por involução qualquer transformação f que é inversa de si própria, i.e., tal que
∀x∈D_f, f(f(x)=x (ou f.f=id) de que é exemplo mais evidente a Reflexão entre as transformações geométricas do plano, para além da trivial identidade: id(x)=x. Lembre-se que o conjunto das reflexões munido da composição não é um grupo, mas que qualquer isometria do plano se pode obter como composta de reflexões.

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Interessa-nos agora uma definição de involução como transformação da geometria projetiva. Sem referência à palavra involução já foram usadas involuções na demonstração de teoremas da geometria projetiva do plano.
Por exemplo, considerámos as projetivades entre duas pontuais sobre uma mesma reta (que ficam definidas por 3 pares de pontos correspondentes).
Uma projetividade entre pontuais de uma reta r é uma involução se X→X' então X'→X ou XX'→X'X, ∀X. (von Staudt)
Prova-se que:
Se uma projetividade permuta dois pontos distintos é uma involução.
Sejam A e A', distintos, tais que, por uma dada projetividade, A é transformado em A' e A' é transformado em A AA'→A'A. E seja X um ponto qualquer de AA' que, pela mesma projetiviade, tem por imagem X'. Podemos escrever AA'X→A'AX' Como já provámos, quatro pontos colineares podem ser premutados aos pares por uma projetividade, ou seja, há uma projetividade para a qual AA'XX'→A'AX'X que permuta X com X' é a dada inicialmente, pois uma projetividade fica determinada quando são dados três pontos e os seus correspondentes (Teorema fundamental da Geometria Projetiva).
e, em consequência:
Uma inovução fica determinada por quaisquer dois dos seus pares de correspondentes
Quaisquer 4 pontos A, A', B, B' colineares determinam um projetividade AA'B→A'AB' que sabemos ser uma involução e que, de forma conveniente, representamos por (AA')(BB') ou (A'A)(BB') ou (BB')(AA'), etc notação que se mantém válida quando B'=B (B é um ponto duplo da involução). A projetividade determinada por AA'B→A'AB é uma involução que se representa por (AA')(BB).