[Exercício Interativo]- Determinar uma original de uma projetividade entre feixes

Considere a projetividade definida pelos feixes a,b,c por O₁ e a', b', c' por O₂ em que a é correspondente de a', b de b' e c de c'. Determine a reta d do feixe por O₁ a que, por essa projetividade, corresponde d'.
Passo a passo

[A.A.M.]

Centro da projetividade entre dois feixes

Definimos o eixo da projetividade entre duas pontuais A,B,C sobre r e A', B', C' sobre s.
Dualmente deve haver um ponto especial para a projetividade que é definida por dois feixes a, b, c de centro em R e a', b', c' de centro em S.
Assim como tomámos as retas AB' e A'B que se intersectam em K e as retas AC' e A'C que se intersectam em L sendo KL o eixo de projetividade, no caso dos feixes projectivos, tomamos os pontos a.b' e a'.b a definir a reta k e os pontos a.c' e a'.c a definir a reta l sendo k.l o centro da projetividade. Por este ponto k.l passará inevitavelmente m=(a.c')(a'.c). Assim:

[A.A.M.]

Esta dualização permitirá as demonstrações dos enunciados do teorema fundamental, qualquer delas por dualização da outra (como fizemos para a definição de eixo e centro de projetividade).

Uma projetividade entre feixes é uma composta de duas perspectividades entre feixes. Em que condições é que uma projetividade entre dois feixes é perspectividade?

Eixo de projetividade entre duas pontuais

Para cada projetividade entre pontuais de bases r e s distintas evidencia-se a reta que passa pelos pontos de cruzamento das retas AB' e A'B, AC' e A'C.
Se considerarmos mais um ponto X, essa reta passa também pelas intersecções de AX' e A'X, BC' e B'C, BX' e B'X, CX' e C'X.
À reta que verifica esta propriedade damos o nome de eixo da projetividade.

[A.A.M.]

Uma projetividade é uma composta de duas perspectividades. Em que condições é que uma projetividade entre duas pontuais é perspectividade?

Teorema Fundamental da Geometria Projetiva

Como sabemos, uma reta r corta um feixe abc de centro O₁ numa pontual ABC. Podemos fazer corresponder a cada ponto de uma pontual uma reta de um feixe e reciprocamente, a cada reta de um feixe fazemos corresponder um ponto de uma pontual.
O Teorema Fundamental da Geometria Projetiva diz-nos que
1. uma projetividade é bem determinada se conhecermos 3 pontos colineares (de uma pontual sobre uma reta r) e os correspondentes (um a um) 3 pontos colineares (de uma outra pontual sobre s)
ou dualmente
2. uma projetividade fica bem definida se conhecermos 3 retas concorrentes num ponto O₁ e as correspondentes (uma a uma) retas de um outro feixe de centro O₂.

Demonstração:
1. Quaisquer 3 pontos A, B, C de uma pontual sobre uma reta r e quaisquer 3 pontos A', B', C' de uma pontual sobre s definem sempre uma projetividade que transforma A em A', B em B', C em C'. Assim: Tomemos um feixe centrado em A (AA', AB', AC') e um outro centrado em A' (A'A, A'B, A'C) e a reta que passa por K=AB'.A'B e L=AC'.A'C. Sendo J=AA'.KL, pela perspetividade de centro A', a pontual ABC é transformada em JKL e esta, pela perspetividade de centro A, é transformada em A'B'C'. A projetividade, composta dessas duas perspetividades, transforma ABC em A'B'C'.
Claro que para definir esta projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' se podem tomar como centros dos feixes B e B', C e C' ou dois pontos quaisquer em AA' (BB' ou CC').
Se precisarmos de determinar a imagem de um quarto ponto X sobre r, bastará tomar A'X do feixe centrado em A' e, sendo M o ponto comum a A'X e KL, X' será o ponto de AM do feixe centrado em A comum a s.



2. Tomados dois feixes a, b, c por O₁ e a', b', c' por O₂, fica bem definida uma projetividade que faz corresponder a a a', b a b', c a c'. Assim: Cortando o primeiro feixe por uma reta r arbitrária, obtemos uma pontual A, B, C de base r e cortando o segundo feixe por uma outra reta s, obtemos uma outra pontual A', B' C'. Por 1. fica definida a projetividade que leva de A a A', B a B', C a C'. E, finalmente, podemos definir a projetividade entre os dois feixes
a→A→A'→a', b→B→B'→b' e c→C→C'→c'.

Se precisarmos de determinar a imagem de uma quarta reta d por O₁, bastará tomar D=r.d e, seguindo o procedimento de (1,) determinar D' sobre s para definir d'=D'O₂.

Sequência de pontos harmonicamente ligados a A,B, Z∞

Retomamos o procedimento especial para obter uma sequência harmónica de pontos relacionados harmonicamente com A,B,Z que apresentámos na entrada anterior. Só que tomamos Z como ponto no infinito.

[A.A.M.]

Podemos observar uma sequência de pontos relacionados harmonicamente dependentes dos três pontos A, B, Z_∞. Claro que esta pode ser composta por A,B,C,Z_∞; ou A,B,C,D, Z_∞;... ou, por uma infinidade numerável de pontos (como pode acontecer com qualquer rede de racionalidade).

Nestas duas últimas entradas, entre dois pontos consecutivos não há outros pontos obtidos pelo mesmo procedimento especial, sendo que nesta última, aos nossos olhos os pontos sucessivos aparecem igualmente espaçados.